??x?3t?3,（Ⅱ）在曲线C上求一点D，使它到直线l：?（t为参数，t?R）的距离最短，
??y??3t?2并求出点D的直角坐标.
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数f?x??x?a?x?1?a． （Ⅰ）当a?1时，求不等式f?x??1的解集； 2 （Ⅱ）若对任意a??0,1?，不等式f?x??b的解集为空集，求实数b的取值范围．
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2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）
理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题
（1）D （7）A 二．填空题
（13）43
（14）（2）D （8）A
（3）C （9）D
（4）B （10）B
（5）C （11）A
（6）A （12）B
5?1 2（15）?40
·6·
（16）2
三．解答题
（17）(Ⅰ) 解法一： 在△ABC中，因为BD?2AD，设AD?x?x?0?，则BD?2x．
在△BCD中，因为CD?BC，CD?5，BD?2x， 所以cos?CDB?CD5．………………………………………………………2分 ?2xBD在△ACD中，因为AD?x，CD?5，AC?53，
AD2?CD2?AC2x2?52?(53)2由余弦定理得cos?ADC?． ………4分 ?2?AD?CD2?x?5因为?CDB??ADC??， 所以cos?ADC??cos?CDB，
x2?52?(53)25即??．………………………………………………………5分
2?x?52x解得x?5．
所以AD的长为5. …………………………………………………………………6分 解法二： 在△ABC中，因为BD?2AD，设AD?x?x?0?，则BD?2x． 在△BCD中，因为CD?BC，CD?5，BD?2x， 所以BC?4x2?25．
BC4x2?25所以cos?CBD?．……………………………………………2分 ?BD2x在△ABC中，因为AB?3x，BC?4x2?25，AC?53，
AB2?BC2?AC213x2?100由余弦定理得cos?CBA?．…………4分 ?22?AB?BC6x?4x?254x2?2513x2?100所以．………………………………………………5分 ?22x6x?4x?25解得x?5．
所以AD的长为5. …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）求得AB?3x?15，BC?4x2?25?53．………………8分
·7·
所以cos?CBD?所以S?ABC??1BC3，从而sin?CBD?．…………………………10分 ?2BD21?AB?BC?sin?CBA 211753?15?53??．……………………………………………12分 224解法二：由（Ⅰ）求得AB?3x?15，BC?4x2?25?53．………………8分 因为AC?53，所以△ABC为等腰三角形．
因为cos?CBD?BC3，所以?CBD?30．……………………………10分 ?BD2153BC?． 22所以△ABC底边AB上的高h?所以S?ABC?1?AB?h 2153753??15??．……………………………………………12分 224
解法三：因为AD的长为5， 所以cos?CDB=CD51?=?，解得?CDB?．……………………………8分
3BD2x2所以S?ADC?12?253?AD?CD?sin?． 2341?253S?BCD??BD?CD?sin?．……………………………………10分
232所以S?ABC?S?ADC?S?BCD?
（18）解：（Ⅰ）设区间?75,85?内的频率为x，
则区间?55,65?，?65,75?内的频率分别为4x和2x．…………………………1分
753．……………………………………………12分 4·8·
依题意得?0.004?0.012?0.019?0.03??10?4x?2x?x?1，………………3分 解得x?0.05．
所以区间?75,85?内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，
所以X服从二项分布B?n,p?，其中n?3．
由（Ⅰ）得，区间?45,75?内的频率为0.3?0.2+0.1=0.6，
将频率视为概率得p?0.6．………………………………………………………5分 因为X的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分
012且P(X?0)?C3?0.60?0.43?0.064，P(X?1)?C13?0.6?0.4?0.288， 230P(X?2)?C3?0.62?0.41?0.432，P(X?3)?C33?0.6?0.4?0.216．
所以X的分布列为：
X
P
0 0.064
1 0.288
2 0.432
3 0.216
………………………10分
所以X的数学期望为EX?0?0.064?1?0.288?2?0.432?3?0.216?1.8． （或直接根据二项分布的均值公式得到EX?np?3?0.6?1.8）……………12分 （19）（Ⅰ）证明：因为AO?平面ABCD， 1 BD?平面ABCD，
所以AO?BD．………………1分 1因为ABCD是菱形，
所以CO?BD．………………2分 因为AO1A1 B1 D1 C1 D O B C CO?O，
A 所以BD?平面A1CO．……………………………………………………………3分 因为BD?平面BB1D1D，
所以平面BB1D1D?平面ACO．…………………………………………………4分 1·9·
（Ⅱ）解法一：因为AO?平面ABCD，CO?BD，以O为原点，OB，OC，OA1方 1向为x，y，z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为AB?AA1?2，?BAD?60， 所以OB?OD?1，OA?OC?3，OA1?AA12?OA2?1．………………6分
则B?1,0,0?，C0,3,0，A0,?3,0，A1?0,0,1?，
所以BB1?AA1?0,3,1，OB1?OB+BB1?1,3,1．………………………7分 设平面OBB1的法向量为n??x,y,z?， 因为OB??1,0,0?，OB1?1,3,1， ??????z A1 ??D1 C1 B1 ????x?0,所以?
x?3y?z?0.??令y?1，
D O A B C x y 得n?0,1,?3．…………………………………………………………9分 同理可求得平面OCB1的法向量为m??1,0,?1?．………………………………10分 所以cos?n,m????36．…………………………………………………11分 ?422因为二面角B?OB1?C的平面角为钝角，
所以二面角B?OB1?C的余弦值为?64．……………………………………12分
解法二：由（Ⅰ）知平面ACO?平面BB1D1D， 1连接AC11与B1D1交于点O1， A1 D1 O1 C1 B1 连接CO1，OO1，
因为AA1?CC1，AA1//CC1， 所以CAAC为平行四边形． 11H D O ·10· K C B A