广东省广州市2019届高三普通高中毕业班综合测试(一模)理科数学试卷

所以h?x??h?x0?=e0?ln?x0?1??2?x?11??x0?1??2?0. x0?1综上可知,当m?1时,f?x??g(x)?x3. ……………………………………12分 思路2:先证明ex?1?x?2?x?R?.……………………………………………5分

设h?x??ex?1?x?2,则h??x??ex+1?1.

因为当x??1时,h??x??0,当x??1时,h??x??0,

所以当x??1时,函数h?x?单调递减,当x??1时,函数h?x?单调递增. 所以h?x??h??1??0. 所以ex?1?x?2(当且仅当x??1时取等号).…………………………………7分

所以要证明ex?1?ln(x?1)?2?0,

只需证明?x?2??ln(x?1)?2?0.………………………………………………8分 下面证明x?ln?x?1??0.

设p?x??x?ln?x?1?,则p??x??1?1x?. x?1x?1当?1?x?0时,p??x??0,当x?0时,p??x??0,

所以当?1?x?0时,函数p?x?单调递减,当x?0时,函数p?x?单调递增. 所以p?x??p?0??0.

所以x?ln?x?1??0(当且仅当x?0时取等号).……………………………10分 由于取等号的条件不同, 所以ex?1?ln(x?1)?2?0.

综上可知,当m?1时,f?x??g(x)?x3. ……………………………………12分 (若考生先放缩ln?x?1?,或e、ln?x?1?同时放缩,请参考此思路给分!) 思路3:先证明ex?1x?ln(x?1)?2?0.

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t令t?x?1,转化为证明e?lnt?2?t?0?.……………………………………5分

因为曲线y?et与曲线y?lnt关于直线y?t对称,

设直线x?x0?x0?0?与曲线y?et、y?lnt分别交于点A、B,点A、B到直线y?t的距离分别为d1、d2, 则AB?2?d1?d2?. 其中d1?ex0?x02,d2?x0?lnx02?x0?0?.

①设h?x0??ex0?x0?x0?0?,则h??x0??ex0?1. 因为x0?0,所以h??x0??ex0?1?0.

所以h?x0?在?0,???上单调递增,则h?x0??h?0??1. 所以d1?ex0?x02?2. 21x0?1?. x0x0②设p?x0??x0?lnx0?x0?0?,则p??x0??1?因为当0?x0?1时,p??x0??0;当x0?1时,p??x0??0, 所以当0?x0?1时,函数p?x0??x0?lnx0单调递减;

当x0?1时,函数p?x0??x0?lnx0单调递增. 所以p?x0??p?1??1. 所以d2?x0?lnx02?2. 2?22?所以AB?2?d1?d2??2????2??2. 2??综上可知,当m?1时,f?x??g(x)?x3.……………………………………12分 证法二:因为f(x)?ex+m?x3,g?x??ln?x?1??2,

x+m所以f?x??g(x)?x3等价于e?ln?x?1??2?0.…………………………4分

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以下给出两种思路证明ex+m?ln?x?1??2?0. 思路1:设h?x??ex+m?ln?x?1??2,则h??x??e设p?x??ex+mx+m?1. x?1?11,则p??x??ex+m??0. 2x?1?x?1?x+m所以函数p(x)?h??x??e因为m?1, 所以h??1?e?1在?-1,+??上单调递增.………………6分 x?1??m??e?1?ex+m?m+m?em?eme?1?e?1?0,h??0??em?1?0.

??m?所以函数h??x??e?1在?-1,+??上有唯一零点x0,且x0???1?e?m,0?. x?1 …………………8分 因为h??x0??0,所以ex0+m?1,即ln?x0?1???x0?m.………………9分 x0?1当x??0,x0?时,h??x??0;当x??x0,???时,h??x??0.

所以当x?x0时,h?x?取得最小值h?x0?.……………………………………10分 所以h?x??h?x0??e0x+m?ln?x0?1??2?1?x0?m?2 x0?1?1??x0?1??m?3?0. x0?1综上可知,当m?1时,f?x??g(x)?x3.……………………………………12分 思路2:先证明e?x?1(x?R),且ln(x?1)?x(x??1).…………………5分 设F(x)?e?x?1,则F?(x)?ex?1.

因为当x?0时,F?(x)?0;当x?0时,F?(x)?0, 所以F(x)在(??,0)上单调递减,在(0,??)上单调递增. 所以当x?0时,F(x)取得最小值F(0)?0.

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所以F(x)?F(0)?0,即ex?x?1(x?R).…………………………………7分 所以ln(x?1)?x(当且仅当x?0时取等号).…………………………………8分 再证明ex+m?ln?x?1??2?0. 由ex?x?1(x?R),得e因为x??1,m?1,且e所以 ex+mx?1?x?2(当且仅当x??1时取等号).…………9分 ?x?2与ln(x?1)?x不同时取等号,

x?1?ln?x?1??2?em?1?ex?1?ln?x?1??2

?em?1(x?2)?x?2?(em?1?1)(x?2)?0.

综上可知,当m?1时,f?x??g(x)?x3.……………………………………12分

(22)(Ⅰ)证明:因为AD是⊙O的切线,

所以?DAC??B(弦切角定理).………………1分 因为DEF O . E A B CA,

所以?DAC??EDA.……………………………2分 所以?EDA??B.

因为?AED??DEB(公共角),

D C 所以△AED∽△DEB.……………………………………………………………3分 所以

DEBE2?AEDE.

即DE?AEBE.…………………………………………………………………4分 (Ⅱ)解:因为EF是⊙O的切线,EAB是⊙O的割线,

所以EF?EAEB (切割线定理).……………………………………………5分 因为EF?4,EA?2,所以EB?8,AB?EB?EA?6.…………………7分 由(Ⅰ)知DE?AEBE,所以DE?4.………………………………………8分

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22因为DE所以

CA,所以△BAC∽△BED. ………………………………………9分

?. EDBA?EDBABEAC所以AC?

BE?6?48?3. …………………………………………………10分

(23)(Ⅰ)解:由??2sin?,???0,2??,

可得?2?2?sin?.…………………………………………………………………1分 因为?2?x2?y2,?sin??y,…………………………………………………2分

2所以曲线C的普通方程为x2?y2?2y?0(或x??y?1??1). …………4分

2??x?3t?3,(Ⅱ)解法一:因为直线的参数方程为?(t为参数,t?R),

??y??3t?2消去t得直线l的普通方程为y??3x?5. ……………………………………5分

2因为曲线C:x??y?1??1是以G?0,1?为圆心,1为半径的圆,

2设点D?x0,y0?,且点D到直线l:y??3x?5的距离最短, 所以曲线C在点D处的切线与直线l:y??3x?5平行. 即直线GD与l的斜率的乘积等于?1,即

2y0?1??3??1.………………7分 x0??2因为x0??y0?1??1,

解得x0??33或x0?. 22???31??33?,?,?或?.……………………………………9分 ???22??22?所以点D的坐标为??由于点D到直线y??3x?5的距离最短,

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