2020高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第六节解三角形的综合应用检测理新人教A版

第六节 解三角形的综合应用

限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)

A级 基础夯实练

1.(2018·临川模拟)如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:①测量A,C,

b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.则一定能确定A,B间的距离的所

有方案的序号为( )

A.①② C.①③

B.②③ D.①②③

解析:选D.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A,B两点间的距离,对于②直接利用余弦定理即可确定A,B两点间的距离.

2.(2018·广西五校联考)一艘海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东70°,在B处观察灯塔,其方向是北偏东65°,那么B,C两点间的距离是( )

A.102海里 C.203海里

B.103海里 D.202海里

解析:选A.画出示意图如图所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30°,∠ABC=40°+65°=105°,∴∠ACB=45°,

根据正弦定理得=,

sin 30°sin 45°解得BC=102(海里).

3.(2018·昆明检测)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱的高度,某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在B点测得水柱顶端的仰角为30°,则水柱的高度是( )

A.50 m C.120 m

B.100 m D.150 m

BCAB解析:选A.作出示意图如图所示,设水柱高度是h m,水柱底端为

C,则在△ABC中,A=60°,AC=h,AB=100,在Rt△BCD中,BC=3h,根据余弦定理得,(3h)2=h2+1002-2·h·100·cos 60°,即h2

+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是

1

50 m.

4.(2018·太原二模)如图,为了测量A,C两点间的距离,选取同一平面上B,D两点,测出四边形ABCD各边的长度(单位:km).AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,且∠B与∠D互补,则AC的长为( )

A.7 km C.9 km

B.8 km D.6 km

解析:选A.在△ACD中,由余弦定理得:

AD2+CD2-AC234-AC2

cos D==.

2AD·CD30

在△ABC中,由余弦定理得:

AB2+BC2-AC289-AC2

cos B==.

2AB·BC80

因为∠B+∠D=180°,所以cos B+cos D=0, 34-AC89-AC即+=0,解得AC=7.

3080

5.(2018·烟台模拟)如图,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发,沿北偏东60°方向进行海上巡逻,当航行半小时到达B处时,发现北偏西45°方向有一艘船C,若船C位于A的北偏东30°方向上,则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )

2

2

A.5(6+2)km C.10(6-2)km

B.5(6-2)km D.10(6+2)km

解析:选C.由题意知∠BAC=60°-30°=30°,∠CBA=30°+45°=75°,所以∠ACB1

=180°-30°-75°=75°,故AC=AB,因为AB=40×=20,所以AC=AB=20.在△ABC2中,由余弦定理得,BC=AC+AB-2AC·ABcos∠CAB=400+400-2×20×20cos 30°=400(2-3),故BC=400(2-3)=200(3-1)=10(6-2).

6.(2018·九江模拟)如图,在四边形ABCD中,已知AD⊥CD,AD=10,AB=14,∠BDA=60°,∠BCD=135°,则BC的长为________.

解析:在△ABD中,设BD=x,则

2

2

2

2

BA2=BD2+AD2-2BD·AD·cos∠BDA,

2

即14=x+10-2·10x·cos 60°, 整理得x-10x-96=0, 解得x1=16,x2=-6(舍去).

2

222

BCBD16

在△BCD中,由正弦定理:=,所以BC=·sin 30°=82.

sin∠CDBsin∠BCDsin 135°

答案:82

7.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.

解析:在△ABC中,∵∠BAC=30°,∠CBA=105°, ∴∠ACB=45°. 又∵AB=600 m,

∴由正弦定理=,得BC=3002 m.

sin∠BACsin∠BCA在Rt△BCD中,∠DBC=30°,BC=3002 m, tan∠DBC==答案:1006

8.(2018·湖南长沙一中模拟)沿海某四个城市A,B,C,D的位置如图所示,其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80 n mile,BC=(40+303)n mile,CD=2506 n mile,D位于A的北偏东75°方向.现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行,60 min后,轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行,收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ,则sin θ=________.

BCABDCBC3

,∴DC=1006 m. 3

解析:如图,设船行驶至F处时收到指令,AM为正北方向,→

FN为正南方向,则AF=50 n mile,连接AC,CF,过A作AE⊥BC于E,则AE=80sin 60°=403(n mile),BE=ABcos60°=

3

40(n mile),CE=BC-BE=303n mile,AC=AE+CE=503n mile,

342ACcos∠ACE=,sin ∠ACE=,所以cos ∠ACD=cos(135°-∠ACE)==,所以5510CD∠CAD=90°.

又AF=50 n mile,AC=503 n mile,所以∠AFC=60°, 所以θ=∠CFN=∠AFN-∠AFC=∠MAF-∠AFC=15°,故sin θ=答案:

6-2

4

6-2

. 4

22

9.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足a(sin A+sin C)+csin

C=bsin(A+C).

(1)求角B;

(2)若b=63,sin C=

13

,求△ABC的面积S. 13

解:(1)因为A+C=π-B,

所以由已知得a(sin A+sin C)+csin C=b sin(π-B), 即a(sin A+sin C)+csin C=bsin 根据正弦定理可得a(a+c)+c=b, 即a+c-b=-ac,

2

2

2

2

2

B.

a2+c2-b21

由余弦定理得cos B==-,

2ac2

因为0

(2)因为B=,所以C为锐角,

3故cos C=1-sinC=2

?13?22391-??=13, ?13?

所以sin A=sin (B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C

2π2392π133239?1?13513=sin×+cos ×=×+?-?×=.

31331321326?2?13513

63×

26bsin A3013

由正弦定理,得a===. sin B133

2

11301313903

所以△ABC的面积S=absin C=××63×=.

22131313

4

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