第六节 解三角形的综合应用
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练)
A级 基础夯实练
1.(2018·临川模拟)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：①测量A，C，
b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所
有方案的序号为( )
A．①② C．①③
B．②③ D．①②③
解析：选D.对于①③可以利用正弦定理确定唯一的A，B两点间的距离，对于②直接利用余弦定理即可确定A，B两点间的距离．
2．(2018·广西五校联考)一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )
A．102海里 C．203海里
B．103海里 D．202海里
解析：选A.画出示意图如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠ACB＝45°，
根据正弦定理得＝，
sin 30°sin 45°解得BC＝102(海里)．
3．(2018·昆明检测)一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m C．120 m
B．100 m D．150 m
BCAB解析：选A.作出示意图如图所示，设水柱高度是h m，水柱底端为
C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB＝100，在Rt△BCD中，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2
＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是
1
50 m.
4．(2018·太原二模)如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)．AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为( )
A．7 km C．9 km
B．8 km D．6 km
解析：选A.在△ACD中，由余弦定理得：
AD2＋CD2－AC234－AC2
cos D＝＝.
2AD·CD30
在△ABC中，由余弦定理得：
AB2＋BC2－AC289－AC2
cos B＝＝.
2AB·BC80
因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0， 34－AC89－AC即＋＝0，解得AC＝7.
3080
5．(2018·烟台模拟)如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海上巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是( )
2
2
A．5(6＋2)km C．10(6－2)km
B．5(6－2)km D．10(6＋2)km
解析：选C.由题意知∠BAC＝60°－30°＝30°，∠CBA＝30°＋45°＝75°，所以∠ACB1
＝180°－30°－75°＝75°，故AC＝AB，因为AB＝40×＝20，所以AC＝AB＝20.在△ABC2中，由余弦定理得，BC＝AC＋AB－2AC·ABcos∠CAB＝400＋400－2×20×20cos 30°＝400(2－3)，故BC＝400（2－3）＝200（3－1）＝10(6－2)．
6．(2018·九江模拟)如图，在四边形ABCD中，已知AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，则BC的长为________．
解析：在△ABD中，设BD＝x，则
2
2
2
2
BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos∠BDA，
2
即14＝x＋10－2·10x·cos 60°， 整理得x－10x－96＝0， 解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．
2
222
BCBD16
在△BCD中，由正弦定理：＝，所以BC＝·sin 30°＝82.
sin∠CDBsin∠BCDsin 135°
答案：82
7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.
解析：在△ABC中，∵∠BAC＝30°，∠CBA＝105°， ∴∠ACB＝45°. 又∵AB＝600 m，
∴由正弦定理＝，得BC＝3002 m.
sin∠BACsin∠BCA在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，BC＝3002 m， tan∠DBC＝＝答案：1006
8．(2018·湖南长沙一中模拟)沿海某四个城市A，B，C，D的位置如图所示，其中∠ABC＝60°，∠BCD＝135°，AB＝80 n mile，BC＝(40＋303)n mile，CD＝2506 n mile，D位于A的北偏东75°方向．现在有一艘轮船从A出发以50 n mile/h的速度向D直线航行，60 min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西θ，则sin θ＝________．
BCABDCBC3
，∴DC＝1006 m. 3
→
解析：如图，设船行驶至F处时收到指令，AM为正北方向，→
FN为正南方向，则AF＝50 n mile，连接AC，CF，过A作AE⊥BC于E，则AE＝80sin 60°＝403(n mile)，BE＝ABcos60°＝
3
40(n mile)，CE＝BC－BE＝303n mile，AC＝AE＋CE＝503n mile，
342ACcos∠ACE＝，sin ∠ACE＝，所以cos ∠ACD＝cos(135°－∠ACE)＝＝，所以5510CD∠CAD＝90°.
又AF＝50 n mile，AC＝503 n mile，所以∠AFC＝60°， 所以θ＝∠CFN＝∠AFN－∠AFC＝∠MAF－∠AFC＝15°，故sin θ＝答案：
6－2
4
6－2
. 4
22
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a(sin A＋sin C)＋csin
C＝bsin(A＋C)．
(1)求角B；
(2)若b＝63，sin C＝
13
，求△ABC的面积S. 13
解：(1)因为A＋C＝π－B，
所以由已知得a(sin A＋sin C)＋csin C＝b sin(π－B)， 即a(sin A＋sin C)＋csin C＝bsin 根据正弦定理可得a(a＋c)＋c＝b， 即a＋c－b＝－ac，
2
2
2
2
2
B．
a2＋c2－b21
由余弦定理得cos B＝＝－，
2ac2
2π
因为0 (2)因为B＝，所以C为锐角， 3故cos C＝1－sinC＝2 ?13?22391－??＝13， ?13? 所以sin A＝sin (B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C 2π2392π133239?1?13513＝sin×＋cos ×＝×＋?－?×＝. 31331321326?2?13513 63× 26bsin A3013 由正弦定理，得a＝＝＝. sin B133 2 11301313903 所以△ABC的面积S＝absin C＝××63×＝. 22131313 4