2019年
第2节 排列与组合
最新考纲 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；3.能解决简单的实际问题.
知 识 梳 理
1.排列与组合的概念
名称 排列 组合 2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数. (2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质
从n个不同元素中取出定义 按照一定的顺序排成一列 合成一组 m(m≤n)个不同元素 n！m(1)An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. （n－m）！公式 Ann（n－1）（n－2）…（n－m＋1）(2)C＝m＝ Amm！mnm＝n！0(n，m∈N+，且m≤n).特别地Cn＝1 m！（n－m）！n(1)0！＝1；An＝n！. 性质 [常用结论与微点提醒]
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)若组合式Cn＝Cn，则x＝m成立.( ) (4)kCn＝nCn－1.( )
kk－1
xm(2)Cn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn mn－mmmm－1 2019年
解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若Cn＝Cn，则x＝m或n－m，故(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( ) A.12
B.24
C.64
D.81
3
xm解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法为A4＝24. 答案 B
3.(一题多解)(教材练习改编)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是( ) A.18
B.24
C.30
D.36
21
解析 法一 选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有C4C3＝18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有C4C3＝12种，故3名学生中男女生都有的选法有C4C3＋C4C3＝30种.
法二 从7名同学中任选3名的方法数，再除去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即C7－C4－C3＝30. 答案 C
4.用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为( ) A.8
B.24
1
3
3
3
12
21
12
C.48
3
D.120
13
解析 末位数字排法有A2种，其他位置排法有A4种，共有A2A4＝48种. 答案 C
5.在一展览会上，要展出5件艺术作品，其中不同书法作品2件、不同绘画作品2件、标志性建筑设计1件，在展台上将这5件作品排成一排，要求2件书法作品必须相邻，2件绘画作品不能相邻，则该次展出这5件作品不同的摆放方案共有________种(用数字作答).
解析 将2件必须相邻的书法作品看作一个整体，同1件建筑设计展品全排列，再将2件不能相邻的绘画作品插空，故共有A2A2A3＝24种不同的展出方案. 答案 24
考点一 排列问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)(一题多解)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
222
2019年
(4)全体排成一排，女生必须站在一起； (5)全体排成一排，男生互不相邻.
解 (1)从7人中选5人排列，有A7＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后排，有A4种方法，共有A7·A4＝5 040(种). (3)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6种排列方法，共有5×A6＝3 600(种). 法二 (特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A6种排法，其他有A5种排法，共有A6A5＝3 600(种). (4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法，再将女生全排列，有A4种方法，共有A4·A4＝576(种).
(5)(插空法)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A5种方法，共有A4·A5＝1 440(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
【训练1】 (1)(2018·赤峰二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( ) A.120
B.240
C.360
D.480
4
3
4
3
4
4
4
4
2
5
25
6
6
3
4
3
4
5
(2)(2018·抚顺模拟)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有( ) A.30
B.600
C.720
D.840
解析 (1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.
(2)若只有甲、乙其中一人参加，有C2C5A4＝480种方法；若甲、乙两人都参加，有C2C5A4＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法. 答案 (1)C (2)C 考点二 组合问题
【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种. (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？
134
224