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有限元法基础试题（A）
一、填空题（5×2分） 1.1单元刚度矩阵k?e??BTDBd?中，矩阵B为__________，矩阵D为___________。
1.2边界条件通常有两类。通常发生在位置完全固定不能转动的情况为_______边界，具体指定有限的非零值位移的情况，如支撑的下沉，称为_______边界。 1.3内部微元体上外力总虚功：
+?的表达??d?We?????x,x??xy,y?Fbx??u???xy,x??y,y?Fby??v?dxdy??x?u,x??y?v,y??xy??u,y??u,x??dxdy式中，第一项为____________________的虚功，第二项为____________________的虚功。 1.4弹簧单元的位移函数N1+N2=_________。
1.5 kij数学表达式：令dj=_____，dk=_____，k?j，则力Fi?kij。
二、判断题（5×2分）
2.1位移函数的假设合理与否将直接影响到有限元分析的计算精度、效率和可靠性。（ ） 2.2变形体虚功原理适用于一切结构（一维杆系、二维板、三位块体）、适用于任何力学行为的材料（线性和非线性），是变形体力学的普遍原理。 （ ） 2.3变形体虚功原理要求力系平衡，要求虚位移协调，是在“平衡、协调”前提下功的恒等关系。 （ ） 2.4常应变三角单元中变形矩阵是x或y的函数。 （ ） 2.5 对称单元中变形矩阵是x或y的函数。 （ ） 三、简答题（26分）
3.1列举有限元法的优点。（8分）
3.2写出有限单元法的分析过程。（8分）
3.3列出3种普通的有限元单元类型。（6分）
3.4简要阐述变形体虚位移原理。（4分）
四、计算题（54分）
4.1对于下图所示的弹簧组合，单元①的弹簧常数为10000N/m，单元②的弹簧常数为20000N/m，单元③的弹簧常数为10000N/m，确定各节点位移、反力以及单元②的单元力。（10分）
112450N2334
4.2对于如图所示的杆组装，弹性模量E为10GPa，杆单元长L均为2m，横截面面积A均为
-42
2×10m，弹簧常数为2000kN/m，所受荷载如图。采用直接刚度法确定节点位移、作用力和单元②的应力。（10分）
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1125kN2334LLk
4.3对称桁架如图（a）所示，杆单元弹性模量均为E，横截面面积均为A，单元长度如图，根据对称性，求图（b）的整体刚度矩阵。（12分）
yx3124yx3123253214L1L2PLP
（a） （b）
4.4如图所示的平面桁架，确定转换矩阵?T1?，并写出?T1??K??T1?（10分）
yx3L32T2L1Px'1y'
4.5确定下图所示梁的各节点位移。梁已按节点编号离散化。梁在节点1固支，节点2有滚
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柱支撑，节点3作用有垂直向下的力P=50kN。令沿梁弹性模量E=210GPa，I=12×10m，梁单元长L=3m。弹簧常数k=200kN/m。（12分）
P121323k4LL
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参考答案（A）：
一、填空题（5×2分）
1.1变形矩阵或应变矩阵 弹性矩阵或本构关系矩阵 1.2 齐次边界 非齐次边界
1.3 微元体上外力在随基点刚体平移所做虚功 外力在微元体变形虚位移上所做虚功 1.4 1 1 1.5 1 0 二、判断题（5×2分）
2.1 √ 2.2 √ 2.3 √ 2.4 × 2.5 √ 三、简答题（26分）
3.1答：优点有：①很容易地模拟不规则形状结构；②可以很方便地处理一般荷载条件；③由于单元方程是单个建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物件；④可以处理数量不受限制和各类边界条件；⑤单元尺寸大小可以变化；⑥改变模型比较容易⑦可以包括动态作用⑧可以处理大变形和非线性材料带来的非线性问题。（8分）
3.2答：有限元方法的一般步骤有：①离散和选择单元类型；②选择位移函数；③定义应变位移和应力应变关系；④推导单元刚度矩阵和方程；⑤组装单元方程得出总体方程并引入边界条件；⑥求解未知自由度；⑦求解单元应变和位移；⑧解释结果。（8分）
3.3答：弹簧单元，杆单元，梁单元，轴对称单元，常应变三角单元，线应变三角形单元，四面体单元等。（任意上述三种均可）（6分）
3.4答：变形体虚位移原理：受给定外力的变形体处于平衡状态的充分、必要条件是，对一切虚位移，外力所作总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功。（4分） 四、计算题（54分）
4.1解：沿弹簧建立X坐标：
（A）每个弹簧单元刚度矩阵如下：
?10000??20000??1000013?2??20000 k???k????k??????1000010000???2000020000?总体刚度矩阵：
K?k?1??k?2??k?3?
00??10000?10000??1000030000?20000?0? K???0?2000030000?10000???00?1000010000??（B）总体刚度矩阵方程：
00??d1x??F1x??10000?10000?F???1000030000?20000?d?0??2x???2x???????
??F0?2000030000?10000?d3x??3x????0?1000010000???F4x???0?d4x??边界条件：F2x?450N， F3x?0，d1x?0，d4x?0
解得：d2x?0.027m，d3x?0.018m，F1x??270N，F4x?180N （C）求单元2节点力
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