第五章：圆
A. ?A. A.
2??45.3：与圆有关的计算（解析）
一：考点
考点一：弧长、扇形面积的计算
? 由圆的周长公式C?2?R，可以推得弧长的计算公式： l?n?R180 。（R为圆的半径，n°为弧所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长）
? 由圆的面积公式S??R2，可以推得扇形面积公式：（R为圆的半径，n°为弧所对的
圆心角的度数，l为扇形的弧长）S扇形?n?R2360
S扇形? 12lR 。 1. 如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝4，∠ABC＝30°。以点B
为圆心，AB长为半径画弧，交BC于点D，则图中阴影部分的面积是( A )
A.
2??3 B.
2??6 C.
4???3 D.
4?6
2. 如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，⊙C的半径为3，则图
中阴影部分的面积是( C )
B.
2?
C.
3?
D.
6?
3. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB＝22，则弧AB的长是( A )
B.
32? C.
2?
D.
12? 4. 如图，矩形ABCD的边AB＝1，BE平分∠ABC，交AD于点E。
若点E是AD的中点，以点B为圆心，BE长为半径画弧，交BC于点F，则图中阴影部分的面积是( B )
B.
32??4 C.
2??8 D.
32??8 5. 如图，正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，则图中阴影部分到的面
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? 积为( D ) A.
??1
B.
??2
C.
??1
D.
??2
6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，以AB为直径的⊙O
交BC于点D。若BC＝42，则图中阴影部分的面积为( B )
A.
??1
B.
??2
C.
2??2
D.
4??1
7. 用等分圆周的方法，在半径为1的圆中画出如图所示图形，则图中阴影
部分面积为 ??33 。 28. 已知扇形的弧长为4?，半径为48，则此扇形的圆心角为 15 。 9. 已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为?，则此扇形的面积是
8316? 。 310. 如图所示，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝2cm，C为弧
AB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，则图中阴影部分的面积
为
?2?12? cm2。 2211. 如图所示，已知AB是⊙O的直径，并且C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，
∠BCD＝∠BAC。
1) 求证：CD是⊙O的切线；
2) 若∠D＝30°，BD＝2，求图中阴影部分的面积。
解： 2)
12. 如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，且AB是⊙O的直径，点P在CA的延长线上，
∠CAD＝45°。
1) 若AB＝4，求弧CD的长；
4S???3
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2) 若弧BC＝弧AD，AD＝AP，求证：PD是⊙O的切线。
解：
1) 弧CD＝?；
13. 如图所示，AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使
得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE。
1) 求证：BE是⊙O的切线；
2) 当BE＝3时，求图中阴影部分的面积。
解： 2)
33S???3。
22考点二：圆柱、圆锥的侧面展开图
? 圆柱的侧面积
? 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图为矩形。
? 圆柱的侧面积：如果圆柱的高为h，底面圆的半径为R，那么S侧? 2?Rh 。 ? 圆锥的侧面积
? 圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以圆锥母线长为半径，圆锥底面圆的周长为弧长的扇形。 ? 圆锥的侧面积：圆锥的侧面积是指它的侧面展开图的面积。如果圆锥的母线长为l，
底面半径为R，那么圆锥的侧面积：S侧? ?Rl 。
1. “赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图。已知地面圆的直径AB＝8cm，圆柱体部分的高BC＝6cm，圆锥体部分的高CD＝3cm，则这个陀螺的表面积是( C )
A.
68?cm2
B.
74?cm2
C.
84?cm2 D. 100?cm2
2. 将圆心角为90°，面积为4?cm2的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半
径为( A )
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A.
2?3A. ?cm
A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm
3. 将半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面圆的半径
为 4 。 4. 已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面
展开图的面积是 65? cm2。
5. 用一个圆心角为180°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，则
这个圆锥的底面圆的半径为 2 。
二：方法技巧
方法：求不规则图形的面积
? 不规则几何图形的面积的求法：要先根据题中的条件，把不规则几何图形分解成几个
规则几何图形的组合图形，然后求面积。 例：如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形AOB绕点A逆时针旋转60°，点O、B的对应点分别为O?、B?，连接BB?，则图中阴影部分的面积是( C )
B.
23??3 C.
23?2??3 D.
43?23 三：习题
（一）：选择题
1. 如图，⊙O的直径BC＝12cm，AC是⊙O的切线，切点为C，
AC＝BC，AB与⊙O交于点D，则弧CD的长是( B )
B.
3?cm
C.
4?cm D. 5?cm
2. 一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图是圆心角为150°的扇形，则圆锥的母线长
为( B )
A. 9cm
B. 12cm
C. 15cm
D. 18cm
3. 如图，用一张半径为24cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子（接缝处忽略不计）。如果
圆锥形帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是( A )
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