上海市杨浦区2012学年度第一学期高三年级学业质量调研
数学试卷(理)
2013.1.
一．填空题（本大题满分56分） 1. 若函数f(x)=31-iix的反函数为f-1(x)，则f(1)=
-1 ．
2．若复数z= (i为虚数单位) ，则z= .
3．抛物线y2=4x的焦点到准线的距离为 .
骣1琪4. 若线性方程组的增广矩阵为琪1桫2312，则该线性方程组的解是 ．
5．若直线l:y-2x-1=0，则该直线l的倾斜角是 . 6. 若(x+a)7的二项展开式中，x5的系数为7，则实数a= ． 7. 若圆椎的母线l=10cm,母线与旋转轴的夹角a=300,则该圆椎的侧面积为 cm2 .
8. 设数列{an}(n?N*)是等差数列.若a2和a2012是方程4x2?8x?3?0的两根，则数列
{an}的前2013 项的和S2013=______________．
39. 下列函数：① f(x)=3, ②f(x)?x, ③f(x)?lnx1x ， ④f(x)?cos?x2
⑤f(x)??x?1中,既是偶函数，又是在区间?0,???上单调递减函数为
2（写出符合要求的所有函数的序号）.
10.将一颗质地均匀的骰子连续投掷两次，朝上的点数依次为b和c， 则函数f(x)?x?2bx?c图像与x轴无公共点的概率是____ ___ .
x11.若函数f(x)?loga(3?2)?1 (a?0,a?1)的图像过定点P,点Q在曲
2线
x?y?2?0上运动,则线段PQ中点M轨迹方程是 ． 12．如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角锈蚀，
2AMEPFDBNC 1
其中AE?4米，CD?6米. 为了合理利用这块钢板,将在五边 形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上. 则矩形BNPM面积的最大值为____ 平方米 . 13 在?ABC中，若?A??4，tan(A?B)?7，AC?32，
则?ABC的面积为___________． 14．在平面直角坐标系xOy中，直线y?3x?2与圆x?ym222?n相切，其中
m、n?N*，0?m?n?1．若函数f?x??mx?1?n的零点x0??k,k?1?，k?Z, 则k?________．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.
15． “a?3”是“函数f(x)?x2?2ax?2在区间?3,???内单调递增”的???（ ）
(A)充分非必要条件． (B)必要非充分条件． (C)充要条件． (D)既非充分又非必要条件．
16．若无穷等比数列?an?的前n项和为Sn，首项为1，公比为a? (n?N*)，则复数z?1a?i32，且limSn?a，
n??在复平面上对应的点位于 ???（ ）
(A)第一象限． (B)第二象限． (C)第三象限． (D)第四象限． 17．若F1、F2为双曲线C: x24?y2?1的左、右焦点，点P在双曲线C上， ∠F1PF2=60?，则P到x轴的距离为 ???（ ）
(A)
55 ． (B)
155． (C)
2155 ． (D)1520．
18. 已知数列?an?是各项均为正数且公比不等于1的等比数列（n?N*）. 对于函数
y?f(x)，若数列?lnf(an)?为等差数列，则称函数f(x)为“保比差数列函数”. 现
有定义在(0,??)上的如下函数：①f(x)?④f(x)?1x， ②f(x)?x， ③f(x)?e，
2xx，则为“保比差数列函数”的所有序号为 ???（ ）
(A) ①②． (B) ③④． (C) ①②④． (D) ②③④ ．
2
三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规
定区域内写出必要的步骤 .
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．
?ABC?30?, 如图，在三棱锥P?ABC中，PA?平面ABC，AC?AB，AP?BC?4，
P D、E分别是BC、AP的中点，
（1）求三棱锥P?ABC的体积；
（2）若异面直线AB与ED所成角的大小为?，求tan?的值.
E ABC D
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分 ． 已知 f(x)?3sin2x?2sin2x ，
（1）求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
??（2）若x???
???6,3??，求f(x)的最大值及取得最大值时对应的x的取值．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 ． 椭圆T的中心为坐标原点O，右焦点为F(2,0)，且椭圆T过点E(2,2). 若?ABC的三个顶点都在椭圆T上，设三条边的中点分别为M、N、P. （1）求椭圆T的方程； （2）设?ABC的三条边所在直线的斜率分别为k1、k2、k3，且ki?0,i?1,2,3. 若直线OM、ON、OP的斜率之和为0，求证： 1k1?1k2?1k3为定值. 3