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章末小结
知识整合与阶段检测
[对应学生用书P47]
考情分析
矩阵与变换是新增内容，限制了矩阵为二阶矩阵，因此运算求解难度都不大，大多为基础题，考查基本概念与方法．
真题体验
1．(福建高考)设曲线2x＋2xy＋y＝1在矩阵A＝?的曲线为x＋y＝1.
(1)求实数a，b的值； (2)求A的逆矩阵．
解：(1)设曲线2x＋2xy＋y＝1上任一点P(x，y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′，
2
2
22
2
2
2
?a 0?
?(a＞0)对应的变换作用下得到?b 1?
?x′??a
y′)，则??＝?
?y′??b 0??x??ax???x′＝ax，? ??＝??得?
?y′＝bx＋y，1??y??bx＋y??
2
2
2
2
又点P′(x′，y′)在x＋y＝1上，所以x′＋y′＝1， 即ax＋(bx＋y)＝1，
整理得(a＋b)x＋2bxy＋y＝1.
??a＋b＝2，
依题意得?
?2b＝2，?
2
2
2
2
2
2
22
2
??a＝1，
因为a＞0，所以?
?b＝1.?
0?
??a＝1，解得?
?b＝1，?
??a＝－1，
或?
?b＝1.?
0??1 0??1
? ??＝?1??1 1??2
0?1?
?1
(2)由(1)知，A＝?
?1 ?1
?，A＝?1??1
2
?，
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? 1
所以|A|＝1，(A)＝?
?－2
2
2－10??. 1?1?
?1
2．(江苏高考)已知矩阵A＝?
?2
解：A＝?
2
?1?2?，向量β＝??.求向量α，使得Aα＝β. 1??2?
?1
?2 1??1 1??3 ? ??＝?1??2 1??4
2?3?
?.
2??x??1?? ??＝??， 3??y??2?
?x??3 2
设α＝??.由Aα＝β，得?
?y??4
??3x＋2y＝1，
从而?
?4x＋3y＝2.?
?－1?解得x＝－1，y＝2，所以α＝??.
? 2?
[对应学生用书P47]
求矩阵、逆矩阵
掌握矩阵、逆矩阵的概念，矩阵相等的定义，二阶矩阵与平面向量的乘法规则，两个二阶矩阵的乘法法则及简单性质，会求逆矩阵，会用系数矩阵的逆矩阵或二阶行列式求解二元一次方程组．
[例1] 求矩阵A＝?
?1
?2
3?5?
?的逆矩阵．
?a
[解] 设A＝?
?c
－1
b?d?
?，根据可逆矩阵的定义，
0?1?
?1 则??2
即?
3??a ? ?5??c b??1 ?＝?d??0
?，
?a＋3c b＋3d??1 0?
?＝??，
?2a＋5c 2b＋5d??0 1?
??a＋3c＝1，
根据矩阵相等得?
??2a＋5c＝0
??b＋3d＝0，
以及?
??2b＋5d＝1.
解得a＝－5，b＝3，c＝2，d＝－1，
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?－5 3?
所以A＝??.
? 2 －1?
－1
?2
[例2] 设矩阵A＝?
?3
[解] 由于A＝?
?x?1??，X＝??，B＝??2?，试解方程AX＝B. 2??y?
1?
?2
?3
1?2?
1?2?
?，
?2
而det(A)＝?
?3
?＝2×2－1×3＝1≠0，
系数矩阵A可逆， 此时方程组有唯一解，
而A－1
??＝?－?
－1
dAc － bAaAA?? 2 －1??＝?
?，
－3 2????
所以X＝AB
? 2 －1??1?? 2×1－1×2??0?＝?? ??＝??＝??. ?－3 2??2??－3×1＋2×2??1?
??x＝0，即???y＝1.
求曲线在平面变换下的方程
掌握平面变换与对应矩阵之间的相互转化关系，理解矩阵乘法与复合变换之间的关系． [例3] 二阶矩阵M1和M2对应的变换对正方形区域的作用结果如下图．
(1)分别写出一个满足条件的矩阵M1和M2；
(2)根据(1)的结果，令M＝M2M1，求直线x－y－1＝0在矩阵M对应的变换作用下的曲线方程．
1
[解] (1)观察图形可知，M1对应的变换为横坐标不变，纵坐标缩短为原来的的伸缩变
2π
换，M2对应的变换为逆时针方向旋转的旋转变换，
2
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