圆锥曲线
【2019年高考考纲解读】
1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率). 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)． 【重点、难点剖析】
一、圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)． (2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M. 2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a，b，p的值． 二、圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系 (1)在椭圆中：a＝b＋c，离心率为e＝＝(2)在双曲线中：c＝a＋b，离心率为e＝＝
2
2
2
2
2
2
2
2
ca1－??. 1＋??.
a?b?2?a?
ca?b?2??
x2y2b2．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
aba三、直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数． 【高考题型示例】
题型一、圆锥曲线的定义与标准方程
x2y2
例1、(1)[2018·天津卷]已知双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的
ab直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为( ) A.－＝1 B.－＝1 412124
x2y2x2y2
C.－＝1 D.－＝1 3993
【解析】如图，不妨设A在B的上方，
x2
y2
x2
y2
bc－b＋bc＋b2bc?b?B?c，－b?.其中的一条渐近线为bx－ay＝0，则A?c，?，则d1＋d2＝＝＝2b＝??a?c?a??a2＋b26，∴ b＝3.
又由e＝＝2，知a＋b＝4a，∴ a＝3. ∴ 双曲线的方程为－＝1.
39故选C.
①②联立，解得a＝3且b＝4， 可得双曲线的方程为－＝1.
916
(2)如图，过抛物线y＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为( )
2
2222
ca222
x2y2
x2y2
A．y＝9x B．y＝6x C．y＝3x D．y＝3x 答案 C
解析 如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.
2
2
2
2
设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝2a，
由抛物线定义，得|BD|＝a，故∠BCD＝30°， 在Rt△ACE中，
∵|AE|＝|AF|＝3，|AC|＝3＋3a，|AC|＝2|AE|， ∴3＋3a＝6，从而得a＝1，|FC|＝3a＝3. 13
∴p＝|FG|＝|FC|＝，
22
因此抛物线方程为y＝3x，故选C. 题型二 圆锥曲线的几何性质
2
x2y2x2y2
例2、 (2018·北京)已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)，双曲线N：2－2＝1.若双曲线N的两条渐近
abmn线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________． 答案
3－1 2
解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝3，∴双曲线N的离心率e1
nmnmn2
满足e＝1＋2＝4，∴e1＝2.
m21
??y＝3x，由?x2y2
2＋2＝1，??ab
a2b2
得x＝22. 3a＋b2
如图，设D点的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x＝c. 4ab224224
∴22＝a－b，得3a－6ab－b＝0， 3a＋b6b?b?2b∴3－2－?2?＝0，解得2＝23－3.
2
2
2
22
2
2
a?a?
ab2
∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－2＝4－23.
a22
∴e2＝3－1.