2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题17圆锥曲线文

圆锥曲线

【2019年高考考纲解读】

1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率). 2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等). 【重点、难点剖析】

一、圆锥曲线的定义与标准方程 1.圆锥曲线的定义

(1)椭圆:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|). (2)双曲线:||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|).

(3)抛物线:|PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于点M. 2.求圆锥曲线标准方程“先定型,后计算”

所谓“定型”,就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置;所谓“计算”,就是指利用待定系数法求出方程中的a,b,p的值. 二、圆锥曲线的几何性质

1.椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系 (1)在椭圆中:a=b+c,离心率为e==(2)在双曲线中:c=a+b,离心率为e==

2

2

2

2

2

2

2

2

ca1-??. 1+??.

a?b?2?a?

ca?b?2??

x2y2b2.双曲线2-2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系.

aba三、直线与圆锥曲线

判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法

(1)代数法:联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组,消去y(或x)得一元二次方程,此方程根的个数即为交点个数,方程组的解即为交点坐标. (2)几何法:画出直线与圆锥曲线的图象,根据图象判断公共点个数. 【高考题型示例】

题型一、圆锥曲线的定义与标准方程

x2y2

例1、(1)[2018·天津卷]已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的

ab直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( ) A.-=1 B.-=1 412124

x2y2x2y2

C.-=1 D.-=1 3993

【解析】如图,不妨设A在B的上方,

x2

y2

x2

y2

bc-b+bc+b2bc?b?B?c,-b?.其中的一条渐近线为bx-ay=0,则A?c,?,则d1+d2===2b=??a?c?a??a2+b26,∴ b=3.

又由e==2,知a+b=4a,∴ a=3. ∴ 双曲线的方程为-=1.

39故选C.

①②联立,解得a=3且b=4, 可得双曲线的方程为-=1.

916

(2)如图,过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线方程为( )

2

2222

ca222

x2y2

x2y2

A.y=9x B.y=6x C.y=3x D.y=3x 答案 C

解析 如图分别过点A,B作准线的垂线,分别交准线于点E,D,设准线交x轴于点G.

2

2

2

2

设|BF|=a,则由已知得|BC|=2a,

由抛物线定义,得|BD|=a,故∠BCD=30°, 在Rt△ACE中,

∵|AE|=|AF|=3,|AC|=3+3a,|AC|=2|AE|, ∴3+3a=6,从而得a=1,|FC|=3a=3. 13

∴p=|FG|=|FC|=,

22

因此抛物线方程为y=3x,故选C. 题型二 圆锥曲线的几何性质

2

x2y2x2y2

例2、 (2018·北京)已知椭圆M:2+2=1(a>b>0),双曲线N:2-2=1.若双曲线N的两条渐近

abmn线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为________;双曲线N的离心率为________. 答案

3-1 2

解析 方法一 双曲线N的渐近线方程为y=±x,则=tan 60°=3,∴双曲线N的离心率e1

nmnmn2

满足e=1+2=4,∴e1=2.

m21

??y=3x,由?x2y2

2+2=1,??ab

a2b2

得x=22. 3a+b2

如图,设D点的横坐标为x,

由正六边形的性质得|ED|=2x=c,∴4x=c. 4ab224224

∴22=a-b,得3a-6ab-b=0, 3a+b6b?b?2b∴3-2-?2?=0,解得2=23-3.

2

2

2

22

2

2

a?a?

ab2

∴椭圆M的离心率e2满足e=1-2=4-23.

a22

∴e2=3-1.

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4