第22讲 排列、组合与二项式定理
题型一| 两个计数原理
设a,b为实数,我们称(a,b)为有序实数对.类似地,设A,B,C为集合,
我们称(A,B,C)为有序三元组.如果集合A,B,C满足|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1,且A∩B∩C=?,则我们称有序三元组(A,B,C)为最小相交(|S|表示集合S中的元素的个数).
(1)请写出一个最小相交的有序三元组,并说明理由;
(2)由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中,令N为最小相交的有序三元组的个数,求N的值.
[解] (1)设A={1,2},B={2,3},C={1,3}, 则A∩B={2},B∩C={3},C∩A={1},A∩B∩C=?, 且|A∩B|=|B∩C|=|C∩A|=1.
∴(A,B,C)是一个最小相交的有序三元组. 6分
(2)令S={1,2,3,4,5,6},如果(A,B,C)是由S的子集构成的最小相交的有序三元组,则存在两两不同的x,y,z∈S,使得A∩B={x},B∩C={y},C∩A={z}(如图),要确定x,
y,z共有6×5×4种方法;对S中剩下的3个元素,每个元素有4种分配方式,即它属于
集合A,B,C中
的某一个或不属于任何一个,则有4种确定方法.
∴最小相交的有序三元组(A,B,C)的个数N=6×5×4×4=7 680. 10分 【名师点评】 应用两个计数原理解题的方法
1.在应用分类计数原理和分步计数原理时,一般先分类再分步,每一步当中又可能用到分类计数原理.
2.对于复杂的两个原理综合使用的问题,可恰当列出示意图或表格,使问题形象化、直观化.
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如图22-1,一环形花坛分成A,B,C,D四块,现有4种不同的花供选种,要求在每块里种1种花,且相邻的2块种不同的花,则不同的种法总数有多少种.
图22-1
【导学号:19592063】
[解] 可依次种A,B,C,D四块,当C与A种同一种花时,有4×3×1×3=36(种)种法;4分
当C与A所种花不同时,有4×3×2×2=48(种)种法. 8分 由分类加法计数原理,不同的种法种数为36+48=84种. 10分
题型二| 排列与组合
(1)某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类
节目的演出顺序,求同类节目不相邻的排法种数.
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况共有多少种.
[解] (1)先安排小品节目和相声节目,然后让歌舞节目去插空.安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“□小品1□小品2□相声□”,有A2C3A3=36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“□小品1□相声□小品2□”,有A2A4=48(种)安排方法,故共有36+36+48=120(种)安排方法. 5分
(2)把8张奖券分4组有两种方法,一种是分(一等奖,无奖)、(二等奖,无奖)、(三等奖,无奖)、(无奖、无奖)四组,分给4人有A4种分法;另一种是一组两个奖,一组只有一个奖,另两组无奖,共有C3种分法,再分给4人有C3A4种分法,所以不同获奖情况种数为A4+C3A4=24+36=60. 10分
【名师点评】 1.解决排列、组合问题应遵循的原则 先特殊后一般,先选后排,先分类后分步.
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2.解排列、组合综合应用题的解题流程