第22讲 排列、组合与二项式定理
题型一| 两个计数原理
设a，b为实数，我们称(a，b)为有序实数对．类似地，设A，B，C为集合，
我们称(A，B，C)为有序三元组．如果集合A，B，C满足|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1，且A∩B∩C＝?，则我们称有序三元组(A，B，C)为最小相交(|S|表示集合S中的元素的个数)．
(1)请写出一个最小相交的有序三元组，并说明理由；
(2)由集合{1,2,3,4,5,6}的子集构成的所有有序三元组中，令N为最小相交的有序三元组的个数，求N的值．
[解] (1)设A＝{1,2}，B＝{2,3}，C＝{1,3}， 则A∩B＝{2}，B∩C＝{3}，C∩A＝{1}，A∩B∩C＝?， 且|A∩B|＝|B∩C|＝|C∩A|＝1.
∴(A，B，C)是一个最小相交的有序三元组. 6分
(2)令S＝{1,2,3,4,5,6}，如果(A，B，C)是由S的子集构成的最小相交的有序三元组，则存在两两不同的x，y，z∈S，使得A∩B＝{x}，B∩C＝{y}，C∩A＝{z}(如图)，要确定x，
y，z共有6×5×4种方法；对S中剩下的3个元素，每个元素有4种分配方式，即它属于
集合A，B，C中
的某一个或不属于任何一个，则有4种确定方法．
∴最小相交的有序三元组(A，B，C)的个数N＝6×5×4×4＝7 680. 10分 【名师点评】 应用两个计数原理解题的方法
1．在应用分类计数原理和分步计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类计数原理．
2．对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．
3
3
1
如图22－1，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数有多少种．
图22－1
【导学号：19592063】
[解] 可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4×3×1×3＝36(种)种法；4分
当C与A所种花不同时，有4×3×2×2＝48(种)种法. 8分 由分类加法计数原理，不同的种法种数为36＋48＝84种. 10分
题型二| 排列与组合
(1)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类
节目的演出顺序，求同类节目不相邻的排法种数．
(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况共有多少种．
[解] (1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空．安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1□小品2□相声□”，有A2C3A3＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有A2A4＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法. 5分
(2)把8张奖券分4组有两种方法，一种是分(一等奖，无奖)、(二等奖，无奖)、(三等奖，无奖)、(无奖、无奖)四组，分给4人有A4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C3种分法，再分给4人有C3A4种分法，所以不同获奖情况种数为A4＋C3A4＝24＋36＝60. 10分
【名师点评】 1.解决排列、组合问题应遵循的原则 先特殊后一般，先选后排，先分类后分步．
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2
22
4
423
212
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2．解排列、组合综合应用题的解题流程
1．某医院有内科医生12名，外科医生8名，现选派5名参加赈灾医疗队，其中： (1)某内科医生甲与某外科医生乙必须参加，共有多少种不同选法？ (2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？ (3)甲、乙两人至少有一人参加，有多少种选法？
(4)队中至少有一名内科医生和一名外科医生，有几种选法？ [解] (1)只需从其他18人中选3人即可，共有C18＝816(种). 2分 (2)只需从其他18人中选5人即可，共有C18＝8 568(种). 5分
(3)分两类：甲、乙中有一人参加，甲、乙都参加，共有C2C18＋C18＝6 936(种). 8分 (4)法一(直接法)：
至少有一名内科医生和一名外科医生的选法可分四类： 一内四外；二内三外；三内二外；四内一外，
所以共有C12C8＋C12C8＋C12C8＋C12C8＝14 656(种). 10分 法二(间接法)：
由总数中减去五名都是内科医生和五名都是外科医生的选法种数，得C20－(C12＋C8)＝14 656(种). 10分
2．设整数n≥4，在集合{1,2,3，…，n}中任取两个不同元素a，b(a＞b)，记An为满足a＋b能被2整除的取法种数．
(1)当n＝6时，求An； (2)求An.
[解] (1)当n＝6时，集合中偶数为2,4,6；奇数为1,3,5. 2分
要使a＋b为偶数，则a，b同奇或同偶，共有C3＋C3＝6(种)取法，即A6＝6.
4分
(2)①当n＝2k(k≥2，k∈N)即k＝时，集合为{1,2,3，…，2k}．记A＝{1,3,5，…，
22k－1}，B＝{2,4,6，…，2k}，因为a＋b能被2整除，所以a，b应同是奇数或同是偶数，
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n