第19章《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法（含答案）
隆昌县金墨职中 彭祥迅
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。
【常见辅助线的作法有以下几种】
1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。
2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。
3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。
5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。
一、倍长中线（线段）造全等 （一）例题讲解
例1、（“希望杯”试题）已知，如图?ABC中，AB?5，AC?3，求中线AD的取值范围。
分析：本题的关键是如何把AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中。 解:延长AD到E，使DE?DA，连接BE 又∵BD?CD，?BDE??CDA ∴?BDE??CDA?SAS?，BE?AC?3
∵AB?BE?AE?AB?BE (三角形三边关系定理) 即2?2AD?8 ∴1?AD?4
E B
D
C A
经验总结：见中线，延长加倍。
例2、如图，?ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE?DF，D是中点，试比较BE?CF与
EF的大小。
证明：延长FD到点G，使DG?DF，连接BG、EG
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∵BD?CD，FD?DG，?BDG??CDF ∴?BDG??CDF ∴BG?CF ∵DE?DF ∴EF?EG
在?BEG中，BE?BG?EG ∵BG?CF，EF?EG ∴BE?CF?EF
B G
D C
E
F A
例3、如图，?ABC中，BD?DC?AC，E是DC的中点，求证：AD平分?BAE.
证明方法一：利用相似论证。 证明：∵BD?DC?AC ∴AC?1BC 2B D
A ∵E是DC中点
11∴EC?DC?AC，?ACE??BCA
22∴?BCA∽?ACE ∴?ABC??CAE ∵AC?DC
∴?ADC??DAC，?ADC??ABC??BAD ∴?ABC??BAD??DAE??CAE ∴?BAD??DAE 即AD平分?BAE
证明方法二：利用全等论证。
证明：延长AE到M，使EM?AE，连结DM 易证?DEM??CEA ∴?C??MDE，AC?DM 又∵BD?DC?AC
∴BD?DM，?ADC??CAD
又∵?ADB??C??CAD，?ADM??MDE??ADC ∴?ADM??ADB ∴?ADM??ADB ∴?BAD??DAE 即AD平分?BAE
E C
A B
D E M
C
（二）实际应用：
1、（2009崇文二模）以?ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt?ABD和等腰Rt?ACE，?BAD??CAE?90?，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点。探究：AM与DE的位置关系及数
量关系。
（1）如图1 当?ABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM
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与DE的数量关系是 ；
（2）将图1中的等腰Rt?ABD绕点A沿逆时针方向旋转??（0?????90?）后，如图2所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由。
D
D N
A N
E
B
M 图 1
A C
B M 图 2
C
解：（1）ED?2AM，AM?ED； 证明：延长AM到G，使MG?AM，连BG，则ABGC是平行四边形 ∴AC?BG，?ABG??BAC?180? 又∵?DAE??BAC?180? ∴?ABG??DAE 再证：?DAE??ABG ∴DE?2AM，?BAG??EDA 延长MN交DE于H ∵?BAG??DAH?90? ∴?HDA??DAH?90? ∴AM?ED （2）结论仍然成立． 证明：如图，延长CA至F，使AC?FA，FA交DE于点P，并连接BF ∵DA?BA，EA?AF ∴?BAF?90???DAF??EAD ∵在?FAB和?EAD中 ?FA?AE???BAF??EAD ?BA?DA?D F P A N E G B A D N H E M C ∴?FAB??EAD（SAS） ∴BF?DE，?F??AEN ∴?FPD??F??APE??AEN?90? ∴FB?DE 又∵CA?AF，CM?MB ∴AM//FB，且AM?∴AM?DE，AM?B M C 1FB 21DE 2二、截长补短 （一）例题讲解
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