第六单练习题
一、选择题
1、在球x2+y2+z2-2z=0内部的点是（ C ）
?111??111?A、（0，0，0） B、（0，0，-2） C、?,,? D、??,,??
?222??222?2、点(1,1,1)关于xy平面的对称点是（ B ）
A、(-1,1,1) B、(1,1,-1) C、(-1,-1,-1) D、(1,-1,1)
3、设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处存在对x,y的偏导数，则fx?(x0,y0)?（ B ） A、limC、lim?x?0f(x0?2?x,y0)?f(x0,y0)f(x0,y0)?f(x0??x,y0) B、lim
?x?0?x?xf(x0??x,y0??y)?f(x0,y0)f(x,y)?f(x0,y0) D、lim
x?x0?xx?x0?x?04、函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微的充分条件是（ D ） A、f(x,y)在点(x0,y0)处连续 B、f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数
C、lim???z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y???0
??0??z?fx?(x0,y0)?x?fy?(x0,y0)?y?22?0??x?yD、lim? 其中 ???0???5、已知函数f(x?y,x?y)?x2?y2，则
?f(x,y)?f(x,y)??（ B ） ?x?y A、2x?2y B、x?y C、2x?2y D、x?y
6、平行于z轴且过点（1，2，3）和（-1，4，5）的平面方程是（ A ）． A、x?y?3?0 B、x?y?3?0 C、y?z?1?0 D、z?5 7、二元函数z?f(x,y)?4x2?y2在点（0，0）处（ D ） A、连续、偏导数不存在 B、不连续、偏导数存在 C、连续，偏导数存在但不可微 D、可微
8、若可微函数z?f(x,y)在点P0(x0,y0)有极值，则（ C ）． A、两个偏导数都大于零 B、两个偏导数都小于零
C、两个偏导数在点P0(x0,y0)的值都等于零
D、两个偏导数异号
9、二重积分I1???sin(x?y)dxdy，I2???sin2(x?y)dxdy，其中Ｄ是由
DDx?0,y?0,x?y?1,x?y?1围成，则（ C ）． 2A、I1?I2 B、I1?I2 C、I1?I2 D、以上都不对 10、设方程xyz?x2?y2?z2?2确定了函数z=z(x,y)，则z=z(x,y)在点 （1，0，-1）处的全微分dz=（ D ）
A、dx?2dy B、?dx?2dy C、?dx?2dy D、dx?2dy 11、二元函数z?x3?y3?3x2?3y2?9x的极小值点是（ A ） A、（1，0） B、（1，2） C、（-3，0） D、(-3，2) 12、点(x0,y0)使fx?(x,y)?0且fy?(x,y)?0成立，则（ D ）
A、(x0,y0)是f(x,y)的极值点 B、(x0,y0)是f(x,y)的最小值点 C、(x0,y0)是f(x,y)的最大值点 D、(x0,y0)可能是f(x,y)的极值点
13、设区域D是单位圆x2?y2?1在第一象限的部分，则二重积分??xyd??
D（ C ） A、
?1?y20dx?1?x20xydy B、?dx?011?y20xydy
C、14、
?dy?0101?x11?y2011?xydx D、?02d??0r2sin2?dr
2?dx?f(x,y)dy?（ D ）
A、?dy?f(x,y)dx B、?dy?C、?dy?f(x,y)dx D、?dy?011000111000D1?x1?x01?yf(x,y)dx f(x,y)dx
015、若??dxdy?1，则积分域D可以是（ C ） A、由x轴，y轴及x?y?2?0所围成的区域 B、由x=1，x=2，及y=2，y=4所围成的区域
11C、由x?,y?所围成的区域
22D、由x?y?1,x?y?1所围成的区域 二、填空题
1、设z?ln(x2?y2)，则
?z2x＝ ．2 ?xx?y211x2、交换二次积分的次序?dx?0f(x,y)dy＝ ．?dy?01y20f(x,y)dx
3、若??a2?x2?y2dxdy??，则a? ，其中Ｄ是由x2?y2?a2围成的区
D域．33 24、??f(x,y)d?在极坐标系下的二次积分为 ，其中Ｄ是由x2?y2?4围成的
D区域．?四、计算题
2?0d??f(rcos?,rsin?)rdr
02?z?2z1、.求由方程e?xyz所确定的函数z?f(x,y)的偏导数，
?x?x?yz解:设F(x,y,z)?ez?xyz，则
Fx??yz，Fz?ez?xy F?zyz ??x?z?xFze?xy?2zyz?(z)?y??x?ye?xy
(z?y?zz?z)(e?xy)?yz(ez?x)?y?y
(ez?xy)2e2zz?ezxyz?ezy2z?xy3z?y2z2ez ? z3(e?xy)u，其中u?3x?2y,v?x?y，求全微分dz v?z?z?u?z?v??解: ?x?u?x?v?xv?u?2?3? u?v2u2?v22、设z?arctan ?3(x?y)3x?2y ?2222(3x?2y)?(x?y)(3x?2y)?(x?y)?z?z?u?z?v ???y?u?y?v?y?v?u?2??(?1)
u2?v2u2?v2 ?2(x?y)3x?2y ?(3x?2y)2?(x?y)2(3x?2y)2?(x?y)2 dz??z?z3(x?y)3x?2ydx?dy?[?]dx 2222?x?y(3x?2y)?(x?y)(3x?2y)?(x?y) ?[
2(x?y)3x?2y?]dy 2222(3x?2y)?(x?y)(3x?2y)?(x?y)3、设z?u2v，其中u?3x?2y,v?x?y，求全微分dz 解:
?z?z?u?z?v?? ?x?u?x?v?x?2uv?3?u2
?6(3x?2y)(x?y)?(3x?2y)2
?z?z?u?z?v?? ?y?u?y?v?y?2uv?2?u2?(?1) ?4(3x?2y)(x?y)?(3x?2y)2
dz??z?zdx?dy?[6(3x?2y)(x?y)?(3x?2y)2]dx ?x?y ?[4(3x?2y)(x?y)?(3x?2y)2]dy 4、求函数f(x,y)?4(x?y)?x2?y2的极值
解：fx?4?2x，fy??4?2y 令fx?0,fy?0得x?2,y??2
由A?fxx??2,B?fxy?0,C?fyy??2知AC?B?0且A?0 故f(x,y)在点（2，-2）处有极大值， 极大值为f(2,?2)?8
5、、计算二重积分??(3x?2y)dxdy，其中Ｄ是由X轴、Y轴及直线x?y?2所围
D成的区域
解：??(3x?2y)dxdy ??dx?D0222?x0(3x?2y)dy
??(?2x2?2x?4)dx
0＝
20 322?y00解法二：原式??dy?2(3x?2y)dx
1??(?y2?2y?6)dy 02 ?20 36、、计算二重积分??Dsinxdxdy，其中Ｄ是由直线y?x和曲线y?x2所围成的闭x区域． 解：??D1xsinxsinxdxdy ??dx?2dy
0xxx????sinx(x?x2)dx 0x110(sinx?xsinx)dx
?1?sin1
7、计算二重积分??x2ydxdy，其中Ｄ是由X轴、Y轴及直线x?y?2所围成的区
D域
解：??x2ydxdy ??dx?D022?x0x2ydy