东城区2015-2016学年第一学期期中教学检测高三数学(理)试题和答案
（Ⅲ）若F为AB中点，棱PC上是否存在一点M，使得FM?AC，若存在， 求出
PM的值，若不存在，说明理由. MC（Ⅰ）证明：因为PA?底面ABCD， 所以PA?CD． 因为AD?CD，
z
所以CD?面PAD. 由于AE?面PAD， 所以有CD?AE．
…………………４分 （Ⅱ）解：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图）， 不妨设AB?AP?2，可得B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)， P(0,0,2).
P E y B x D A C
uuuv由E为棱PD的中点，得E(0,1,1). AE?(0,1,1)
uuuruur 向量BD?(?2,2,0),PB?(2,0,?2).
r 设n?(x,y,z)为平面PBD的法向量，则?n?BD?0即??2x?2y?0．
??n?PB?0?2x?2z?0? 不妨令y=1，可得n?（1,1,1）为平面PBD的一个法向量.
uuuvuuuv6所以 cosAE,EF?.
3 所以，直线EF与平面PBD所成角的正弦值为6. …………………11分
3uuruuuruuur（Ⅲ）解：向量CP?(?2,?2,2)，AC?(2,2,0)，AB?(2,0,0). uuuruur 由点M在棱PC上，设CM??CP,(0???1). uuuruuuruuur 故 FM?FC?CM?(1?2?,2?2?,2?).
由FM?AC，得FM?AC?0，
3. 4
因此，(1-2?)?2?(2-2?)?2?0，解得??
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所以
PM1?. …………………13分 MC3（18）（本小题共13分）
1x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的焦点是F1、F2，且F1F2?2，离心率为．
ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
|F2B|的取值范围． （Ⅱ）过椭圆右焦点F2的直线l交椭圆于A，B两点，求|AF2|gx2y2解（Ⅰ）因为椭圆的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab?a2?b2?c2，??c1由题意知??，解得a?2,b?3．
a2???2c?2x2y2??1． ……………………………5分 所以椭圆的标准方程为43（Ⅱ）因为F2(1,0)，当直线l的斜率不存在时，A(1,)，B(1,?)，
3232|F2B|?则|AF2|g9，不符合题意. 4当直线l的斜率存在时，直线l的方程可设为y?k(x?1)．
?y?k(x?1),?2222由?x2y2 消y得(3?4k)x?8kx?4k?12?0 （*）．
??1,?3?4设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1、x2是方程（*）的两个根，
8k24k2?12所以x2?x2?，x1x2?． 23?4k3?4k2所以|AF2|?所以|F2B|?(x1?1)2?y12?1?k2x1?1， (x2?1)2?y22?1?k2x2?1
2所以|AF2|g|F2B|?(1?k)x1x2?(x1?x2)?1
4k2?128k2?(1?k)??1 223?4k3?4k210 / 13
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?(1?k2)?(1?k2)9 23?4k93?4k2
91?(1?).43?4k22|F2B|取最大值为3， 当k?0时，|AF2|g|F2B|的取值范围?,3?. 所以 |AF2|g|F2B|取值为 又当k不存在，即AB?x轴时，|AF2|g?9?4??9． 4|F2B|的取值范围?,3?. …………13分 所以|AF2|g（19）（本小题共14分）
?9?4??ex已知函数f(x)??a(x?lnx)．
x（Ⅰ）当a?1时，试求f(x)在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）当a?0时，试求f(x)的单调区间；
（Ⅲ）若f(x)在(0,1)内有极值，试求a的取值范围．
ex(x?1)1?1?解：（Ⅰ）当a?1时，f(x)?，f/(1)?0，f(1)?e?1． 2xx/ 方程为y?e?1． …………………4分
ex(x?1)1ex(x?1)?ax(x?1)?a(1?) ?（Ⅱ）f?(x)?， 22xxxx(e?ax)?x(1) ? ． 2x
当a?0时，对于?x?(0,??)，ex?ax?0恒成立，
f'(x)?0 ? 0?x?10.
所以 f'(x)?0 ?x?1；
所以 单调增区间为(1,??)，单调减区间为(0,1) ． …………………8分
'（Ⅲ）若f(x)在(0,1)内有极值，则f(x)在x?(0,1)内有解．
(ex?ax)(x?1)exx?0 ?e?ax?0 ?a? . 令f(x)?2xx'ex设g(x)? x?(0,1, )x11 / 13
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ex(x?1)所以 g(x)?, 当x?(0,1)时，g'(x)?0恒成立，
x'所以g(x)单调递减.
又因为g(1)?e，又当x?0时，g(x)???, 即g(x)在x?(0,1)上的值域为(e,??),
(ex?ax)(x?1)?0 有解. 所以 当a?e时，f(x)?x2'xx设H(x)?e?ax，则 H?(x)?e?a?0 x?(0,1)，
所以H(x)在x?(0,1)单调递减. 因为H(0)?1?0，H(1)?e?a?0,
x所以H(x)?e?ax在x?(0,1)有唯一解x0.
所以有：
x (0,x0) ? x0 0 0 极小值 (x0,1) H(x) f'(x) ? ? ? f(x) ] Z
所以 当a?e时，f(x)在(0,1)内有极值且唯一.
当a?e时，当x?(0,1)时，f'(x)?0恒成立，f(x)单调递增，不成立． 综上，a的取值范围为(e,??)． …………………14分
（20）（本小题共13分）
已知曲线Cn表示x,y满足x?y?1(n?N*)的方程. （Ⅰ）求出n?1,2时，曲线Cn所围成的图形的面积;
??（Ⅱ）若Sn(n?N)表示曲线Cn所围成的图形的面积，求证：Sn(n?N)关于n是递增的;
nn (III) 若方程xn?yn?zn(n?2,n?N)，xyz?0，没有正整数解，
? 求证：曲线Cn(n?2,n?N)上任一点对应的坐标(x,y)，x,y不能全是有理数.
解:（Ⅰ）当n?1,2 时, 由图可知C1?4?1?1?1?2,C2?π. …………………3分
2??（Ⅱ)要证Sn(n?N)是关于n递增的，只需证明：Sn?Sn?1(n?N)．
由于曲线Cn具有对称性，只需证明曲线Cn在第一象限的部分与坐标轴所围成的面积递
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增．
现在考虑曲线Cn与Cn?1，
因为 x?y?1(n?N?)LL(1) 因为 xn?1nn?yn?1?1(n?N?)LL(2)
在(1)和(2)中令x?x0,x0?(0,1)，
当x0?(0,1)，存在y1,y2?(0,1)使得x0n?y1n?1，x0n?1?y2n?1?1成立，
此时必有y2?y1．
因为当x0?(0,1)时x0n?x0n?1， 所以y2n?1?y1n．
两边同时开n次方有，y2?y2 这就得到了y2?y1，
? 从而Sn(n?N)是关于n递增的． …………………10分
n?1n（指数函数单调性） ?y1．
xy(III)由于xn?yn?zn(n?2,n?N)可等价转化为()n?()n?1，
zz* 反证：若曲线Cn(n?2,n?N)上存在一点对应的坐标(x,y)，x,y全是有理数，
不妨设x?nqt,y?，p,q,s,t?N*，且p,q互质，s,t 互质． psn 则由x?y?1可得，
qt ??1．
ps 即qs?pt?ps．
这时qs,pt,ps就是x?y?z(n?2,n?N)的一组解，
这与方程x?y?z(n?2,n?N)，xyz?0，没有正整数解矛盾，
* 所以曲线Cn(n?2,n?N)上任一点对应的坐标(x,y)，x,y不能全是有理数．
nnnnnnnn*nnn* …………………13分
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