复变函数测验题
第一章 复数与复变函数
一、
选择题
1．当z?1?i1007550时，z?z?z的值等于（ ） 1?i（A）i （B）?i （C）1 （D）?1 2．设复数z满足arc(z?2)??3，arc(z?2)?5?，那么z?（ ） 6（A）?1?3i （B）?3．复数z?tan??i(3?i （C）?1331?i （D）??i 2222?????)的三角表示式是（ ） 2?[cos(??)?isin(??)] （B）sec?[cos(（A）sec22??3?3???)?isin(??)] 22?[cos(（C）?sec3?3?????)?isin(??)]（D）?sec?[cos(??)?isin(??)] 2222224．若z为非零复数，则z?z与2zz的关系是（ ）
2222（A）z?z?2zz （B）z?z?2zz
22（C）z?z?2zz （D）不能比较大小
５．设x,y为实数，z1?x?11?yi,z2?x?11?yi且有z1?z2?12，则动点(x,y)的轨迹是（ ）
（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转
?，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为31?3i，则原向量对应的复数是（ ）
（A）2 （B）1?3i （C）3?i （D）3?i
1
复变函数测验题
７．使得z?z成立的复数z是（ ）
（A）不存在的 （B）唯一的 （C）纯虚数 （D）实数 ８．设z为复数，则方程z?z?2?i的解是（ ）
22（A）?3333?i （B）?i （C）?i （D）??i 4444９．满足不等式
z?i?2的所有点z构成的集合是（ ） z?i（A）有界区域 （B）无界区域 （C）有界闭区域 （D）无界闭区域 10．方程z?2?3i?2所代表的曲线是（ ）
（A）中心为2?3i，半径为2的圆周 （B）中心为?2?3i，半径为２的圆周 （C）中心为?2?3i，半径为2的圆周 （D）中心为2?3i，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A）
z?1?2 （B）z?3?z?3?4 z?2z?a?1(a?1) （D）zz?az?az?aa?c?0(c?0)
1?az（C）
12．设f(z)?1?z,z1?2?3i,z2?5?i,，则f(z1?z2)?（ ） （A）?4?4i （B）4?4i （C）4?4i （D）?4?4i 13．limIm(z)?Im(z0)（ ）
x?x0z?z0（A）等于i （B）等于?i （C）等于0 （D）不存在
14．函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在点z0?x0?iy0处连续的充要条件是（ ） （A）u(x,y)在(x0,y0)处连续 （B）v(x,y)在(x0,y0)处连续
（C）u(x,y)和v(x,y)在(x0,y0)处连续（D）u(x,y)?v(x,y)在(x0,y0)处连续
2
复变函数测验题
z2?z?115．设z?C且z?1，则函数f(z)?的最小值为（ ）
z（A）?3 （B）?2 （C）?1 （D）1
二、填空题
1．设z?(1?i)(2?i)(3?i)，则z? (3?i)(2?i)2．设z?(2?3i)(?2?i)，则argz?
3．设z?5,arg(z?i)?3?，则z? 4(cos5??isin5?)24．复数的指数表示式为 2(cos3??isin3?)5．以方程z?7?15i的根的对应点为顶点的多边形的面积为 ６．不等式z?2?z?2?5所表示的区域是曲线 的内部
6７．方程
2z?1?i?1所表示曲线的直角坐标方程为
2?(1?i)z８．方程z?1?2i?z?2?i所表示的曲线是连续点 和 的线段的垂直平分线
９．对于映射??
2i22，圆周x?(y?1)?1的像曲线为 z
410．lim(1?z?2z)?
z?1?i
三、若复数z满足zz?(1?2i)z?(1?2i)z?3?0，试求z?2的取值范围．
3
复变函数测验题
四、设a?0，在复数集C中解方程z2?2z?a.
五、设复数z??i，试证
六、对于映射??
七、试证１.
z是实数的充要条件为z?1或IM(z)?0. 21?z11(z?)，求出圆周z?4的像. 2zz1?0(z2?0)的充要条件为z1?z2?z1?z2； z2z1?0(zj?0,k?j,k,j?1,2,?,n))的充要条件为 z2２.
z1?z2???zn?z1?z2???zn.
八、若limf(z)?A?0，则存在??0，使得当0?z?z0??时有f(z)?x?x01A. 2
九、设z?x?iy，试证
十、设z?x?iy，试讨论下列函数的连续性：
x?y2?z?x?y.
?2xy,z?0?1.f(z)??x2?y2
?0,z?0??x3y?,z?02.f(z)??x2?y2
?0,z?0?
4
复变函数测验题
第二章 解析函数
一、选择题：
1．函数f(z)?3z2在点z?0处是( )
（A）解析的 （B）可导的
（C）不可导的 （D）既不解析也不可导 2．函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件也非必要条件 3．下列命题中，正确的是( )
（A）设x,y为实数，则cos(x?iy)?1
（B）若z0是函数f(z)的奇点，则f(z)在点z0不可导
（C）若u,v在区域D内满足柯西-黎曼方程，则f(z)?u?iv在D内解析 （D）若f(z)在区域D内解析，则if(z)在D内也解析 4．下列函数中，为解析函数的是( )
（A）x2?y2?2xyi （B）x2?xyi （C）2(x?1)y?i(y2?z?x20?2x) （D）x3?iy3
5．函数f(z)?z2Im(z)在
处的导数( )
（A）等于0 （B）等于1 （C）等于?1 （D）不存在
6．若函数f(z)?x2?2xy?y2?i(y2?axy?x2)在复平面内处处解析，那么实常数a?( )
（A）0 （B）1 （C）2 （D）?2
7．如果f?(z)在单位圆z?1内处处为零，且f(0)??1，那么在z?1内f(z)?( )
（A）0 （B）1 （C）?1 （D）任意常数 8．设函数f(z)在区域D内有定义，则下列命题中，正确的是
5