第十一章
曲线积分与曲面积分
习题 11-1
1.设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（x,y）处它的线密度为?（x,y）。用对弧长的曲线积分分别表达：
（1）这曲线弧对x轴,对y轴的转动惯量IxIy
,（2）这曲线弧的质心坐标x,y
2.利用对弧长的曲线积分的定义证明性质3 3.计算下列对弧长的曲线积分： （1）（2）（3）
???L(x?y)ds，其中L为圆周x?acost,y?asint(0?t?2?)
22nL(x?y)ds，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段
xds，其中L为由直线y=x及抛物线y?x2所围成的区域的整个边界
L（4）?Lex2?y2ds，其中L为圆周x2?y2?a2，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇
形的整个边界
1ttt（5）??x2?y2?z2ds，其中?为曲线x?ecost,y?esint,z?e上相应于t从0变到2
的这段弧 （6）
???x2yzds，其中?为折线ABCD，这里A,B,C,D依次为点（0,0,0）
，（0,0,2），（1,0,2），y2ds，
，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?)
（1,3,2） （7）（8）
L?L(x2?y2)ds，其中L为曲线x?a(cost?tsint),y?a(sint?tcost)(0?t?2?)
4.求半径为ａ，中心角为2?的均匀圆弧（线密度??1）的质心 5.设螺旋形弹簧一圈的方程为x?acost,y?asint,z?kt，其中
0?t?2?，它的线密度
?(x,y,z)?x2?y2?z2．求：
I（１）它关于ｚ轴的转动惯量z
（２）它的质心。
习题 11-2
1.设L为xOy面内直线x?a上的一段，证明：
?LP(x,y)dx?0
2.设L为xOy面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明：
?LP(x,y)dx??P(x,0)dxab
3.计算下列对坐标的积分： （1）?(xL2?y2)dx，其中L是抛物线
y?x2上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧
（2）
?Lxydx2(x?a)2?y2?a（a>0）及x轴所围成的在第一象限内的区，其中L为圆周
域的整个边界（按逆时针方向绕行） （3）
?Lydx?xdy，其中L为圆周
x?Rcost,y?Rsint上对应t从0到
?2的一段弧
(x?y)dx?(x?y)dy222x+y?a（4）?L（按逆时针方向绕行） x2?y2，其中L为圆周
（5）??x2dx?zdy?ydz，其中
?为曲线x?k??y?acos?,z?asin?上对应?从0到??是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线
的一段弧 （6）（7）
??xdx?ydy?(x?y?1)dzdx?dy+ydz，其中
，其中
???为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) （8）?(xL2?2xy)dx?(y2?2xy)dy，其中L是抛物线
y?x2上从点（-1,1）到点（1,1）
的一段弧 4.计算
?(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是：
L2y?x上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 （1）抛物线
（2）从点（1,1）到点（4,2）的直线段
（3）先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线
22x?2t?t?1,y?t?1上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧 （4）曲线
222x?y?R5.一力场由沿横轴正方向的恒力F所构成，试求当一质量为m的质点沿圆周按
逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功
6.设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,y,z）时重力所做的功
7.把对坐标的曲线积分
?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化成对弧长的积分曲线，其中L为：
（1）在xOy面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）
2y?x（2）沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）
22x?y?2x从点（0,0）到点（1,1） （3）沿上半圆周
23x?t,y?t,z?t?为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分8.设
?
?Pdx?Qdy?Rdz化成对弧长的曲线积分
习题 11-3
1.计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性： （1）
??L(2xy?x2)dx?(x?y2)dyy?x2和y2?x所围成的区域的
，其中L是由抛物线
正向边界曲线 （2）
L(x2?xy2)dx?(y2?2xy)dy，其中L是四个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）
的正方形区域的正想边界
2.利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积 （1）星形线
x?acos3t,y?asin3t
22（2）椭圆9x+16y?144 （3）圆x?y?2ax
22ydx?xdy22(x?1)?y?2，L的方向为逆时针方向 3.计算曲线积分?L2(x2?y2)，其中L为圆周