二次函数与一元二次方程
【教学目标】
1．知识与技能：
理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点个数、掌握方程与函数间的转化。
2．过程与方法：
逐步探索二次函数与一元二次方程之间的关系，函数图象与x轴的交点情况。由特殊到一般，提高学生的分析、探索、归纳能力。
3．情感态度：
培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。
【教学重点】
探索一次函数图象与一元二次方程的关系，理解抛物线与x轴交点情况。
【教学难点】
函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
【教学过程】
一、问题导入。
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h?20t?5t2。
考虑以下问题：
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ （4）小球从飞出到落地需要多少时间？
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二、探索新知。
1．从上面的问题可以看出，二次函数与一元二次方程有如下关系：
函数y?ax2?bx?c，当函数值y为某一确定值m时，对应自变量x的值就是方程ax2?bx?c?m的根。特别是y=0时，对应的自变量x的值就是方程ax2?bx?c?0的根。以上关系，反过来也成立。
利用以上关系，可以解决两个方面问题。
其一，当y为某一确定值时，可通过解方程来求出相应的自变量x值； 其二，可以利用函数图象来找出相应方程的根。
2．二次函数的图象与x轴的交点情况同一元二次方程的根的情况之间的关系。
观察图中的抛物线与x轴的交点情况，你能得出相应方程的根吗？
?。 方程x2?x?2?0的根是x1??2，x2 1方程x2?6x?9?0的根是x1? x2?3。 方程x2?x?1?0无实数根。 3．归纳总结。
一般地，从二次函数y?ax2?bx?c的图象可得如下结论：
如果抛物线y?ax2?bx?c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x?x0时，函数值是0，因此x?x0是方程ax2?bx?c?0的一个根。
二次函数y?ax2?bx?c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程ax2?bx?c?0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。 三、掌握新知。
例：利用函数图象求方程x2?2x?2?0的实数根（结果保留小数点后一位）。
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解： 画出二次函数y?x2?2x?2的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7，2.7。 所以方程x2?2x?2?0的实数根为x1??0.7，x2?2.7。 我们还可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。 观察函数y?x2?2x?2的图象，可以发现，当自变量为2时的函数值小于0（点（2，-2）在x轴的下方），当自变量为3时的函数值大于0（点（3，1）在x轴的上方）。因为抛物线y?x2?2x?2是一条连续不断的曲线，所以抛物线y?x2?2x?2在2?x?3这一段经过x轴，也就是说，当自变量取2，3之间的某个值时，函数值为0，即方程x2?2x?2?0在2，3之间有根。 我们可以通过去平均数的方法不断缩小根所在的范围。例如，取2，3的平均数2．5，用计算器算得自变量为2.5时的函数值为-0.75，与自变量为3时的函数值异号，所以这个根在2.5，3之间。再取2.5，3的平均数2.75，用计算器算得自变量为2.75时的函数值为0.0625，与自变量为2.5时的函数值异号，所以这个根在2.5，2.75之间。 重复上述步骤，我们逐步得到：这个根在2.625，2.75之间，在2.6875，2.75之间……可以看到：根所在的范围越来越小，根所在范围的两端的值越来越接近根的值，因而可以作为根的近似值。例如，当要求根的近似值与根的准确值的差的绝对值小于0.1时，由于2.6875?2.75?0.0625?0.1，我们可以将2.6875作为根的近似值。 四、巩固练习。 画出函数y??2x2?4x?6的图象，利用图象回答下列问题： （1）方程?2x2?4x?6?0的解是什么？ （2）x取什么值时，函数值大于0？ （3）x取什么值时，函数值小于0？ 答案：图象如图所示： 3 / 4