预备知识
1.事件域
定义 设?为一基本事件空间，F为?的某些子集所组成的集合类。如果F满足： （1）??F；
（2）若A?F，则对立事件A?F；
?（3）若An?F,n=1,2,，则可列并
n=1An?F.
则F是一个?代数（或称?域），称为事件域。F中的元素称为事件。 2.可测空间
定义 在概率论中，二元组??,F?称为概率可测空间，这里“可测”是指F是一个事
件域，即F中的元素都是有概率可言的事件。 3. 有限维乘积可测空间
定义 设??i,Fi?,1?i?n是n个可测空间，像通常一样，
?=???1,称为?1,,?n?:?i??i,1?i?n?
ni=1,?n乘积空间，记为?=??i=?1???n。对Ai??i，1?i?n，集合
A=???1,,?n?:?i?Ai,1?i?n?
ni=1称为乘积空间?中的矩形集，记为A=?Ai=A1??An。特别地，当每个Ai?Fi时，
A=?Ai=A1?i=1ni=1n?An
称为可测矩形。C表示?=??i中的可测矩形全体，即
C=?A1??An:Ai?Fi,i=1,,n?，
则C是一个半域，F=??C?（由C生成的?域，即包含C的最小?域）称为乘积?域， 记为F=?Fi=F1?i=1n?Fn，又称??,F?为可测空间??1,F1?,???n,Fn?
,??n,Fn?的乘积可测空
间，记为
??,F?=i???i,Fi?=??1,F1??=14. 无限维乘积可测空间
定义 设
n????,F??,??J?是一族可测空间，则
?=????,??J?:?????,??J?
称为???,??J?乘积空间，记为?=??????J?????J。若I是J的有限子集，对
A??F?,??I，集合
B=????,??J?:???Ai,??I,?????,??J?
称为乘积空间?中的有限维基底可测矩形柱集，A=?A?称为B的底。C表示?中的有
??I限维基底可测矩形柱集全体，则C是一个半域，F=??C?（由C生成的?域，即包含C的最小?域）称为?F?，??J?的乘积?域，记为F=?F????JF?。又称??,F?为 ???J????,F??,??J?的乘积可测空间，记为??,F?=?????,F???????,F??。
?J??J 在统计中，主要用到J=?1,2, ?=?的情形,此时,记为
??n?,
??=??=??ii?1i=1i1??ii=1i1?? F=?F=?F=F?i?1??Fn??,
??,F?=???i,Fi?=i???i,Fi?=??1,F1??=1i?1???n,Fn??。
5.概率空间
定义 设?为一基本事件空间，F为?的某些子集组成的一个?代数（?域），称为事件域。如果定义在F上的一个实值集函数P?A?满足： （1）非负性，即若A?F，则P?A??0； （2）正则性，即P???=1；
（3）可列可加性（?可加性），即若An?F,n=1,2,，且互不相容，则有
???+?P?An?=?P?An? ?n=1?n=1则称集函数P?A?为可测空间??,F简称为概率。对任一事件A?F?上的一个概率测度，
，
概率测度值P?A?称为事件A的概率。称三元组??,F,P?为概率空间（或称概率场）。 （在一般测度论中，若将（2）改成P????0，则称P为测度，??,F,P?称为测度空间；
若P是测度，且P?????，则称P为有限测度；若P是测度，且存在An?F，n?1，
?使
n?1An??，P?An???,?n?1，则称P为?有限测度）
下面举几个例子说明如何建立概率空间。
例1抛掷一枚硬币，观察正反面出现的情况。?0表示“出现正面”这一基本结果（事
件），“出现反面”这一基本结果（事件），则基本事件空间?=??0,?1?，令A=??0?，?1表示，在F上定义 A=??1?则F=?A,A,?,??是一个事件域。对给定的实数p（0 P?A?=p，P?A?=1-p，P???=0，P???=1， 则这样定义的P是一个概率（这个概率称贝努里（Bernoulli）概率），??,F,P?是一个概率空间（称为贝努里（Bernoulli）概率空间）。若p=1，则表示硬币质量分布是匀称的。 2 若定义P?A?=PA=P???=0，P???=1，则这样定义的P也是一个概率，?,F,P也是一个概率空间。这个概率空间没有实际意义。 ????例2 从某工厂的某种产品中随机抽出n件，观察其中的合格品个数。用?k表示“抽出的n件中恰好有k件合格品”的事件，令Zn=?0,1,,n?及 ?=??k:k?Zn?， A?=??k:k???,??Zn， F=?A?:??Zn?， 则F是?的一切子集所形成的集类，它是一个?代数（?域）。再令 ?n?kn-kP?A??=???p?1-p?,??Zn， k???k?其中p满足0 例3 观察某电话交换台在时间间隔[a,a+t内收到用户的呼叫次数。用?k表示“电话）交换台在时间间隔[a,a+t内恰好收到用户的k次呼叫”的事件，令Z+=?0,1,2,）?及 ?=??k:k?Z+?， A?=??k:k???,??Z+， F=?A?:??Z+?， 则F是?的一切子集所形成的积类，它是一个?代数（?域）。再令 P?A??=?k????t?k!ke-?k,??Zn， 其中?>0。则P是F上满足非负性、正规性、?可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为泊松（Poisson）概率），于是我们建立了一个概率空间??,F,P?（称为泊松（Poisson）概率空间）。 例4 设a,b?R，a B?a,b?=BR?a,b?， 其中BR是R中的Borel子集组成的?代数。则B?a,b?是?中的一切Borel子集所形成的积类，它是一个?代数（?域）。再令 P?A?=???A?1??dx?=,A?B?a,b?， b-ab-aA其中?是直线R上的Lebesgue测度。则P是B?a,b?上满足非负性、正规性、?可加性的集函数，因而P是概率（这个概率称为均匀概率），于是我们建立了一个概率空间?,B?a,b?,P（称为均匀概率空间）。在此概率空间中，若a?c?d?b，则 ??P??c,d??=P??c,d??=P?(c,d]?=P?[c,d)?=若A是?a,b?中的有限子集或可列子集，则P?A?=0。 d-c。 b-a例5 设R=?-?,+??是实直线，属于R中的点看成基本事件，即?=R=?-?,+??，令BR是R中的Borel子集组成的?代数，定义 P?A?=?A-21e2???dx?,A?BR 2???x-a??>0是常数。其中?是直线R上的Lebesgue测度，a?R，则可证明这样定义的P是BR上 满足非负性、正规性、?可加性的集函数，因而是概率（这个概率称为正态概率，或高斯（Gaussian）概率），于是我们建立了一个概率空间??,BR,P?（称为正态概率空间，或高斯 （Gaussian）概率空间）。在这个概率空间中，若a,b?R，且a P??a,b??=P??a,b??=P?(a,b]?=P?[a,b)?=?ab-12e2?dx2???x-a?。 若A是R中的有限子集或可列子集，则P?A?=0。 例6 考虑一个n次独立试验序列，在第k次试验中可能出现r个基本结果 ?s??1??r?。令?k表示第k次试验出现的结果。这个试验的基本事件空间为 ?k,,?kk?=?1?1?,sn???n?,?n:sk=1,s?,r;k=1,,n， ?它是由r个基本结果组成。取F=?A:A???是由?的一切子集组成的?域。对给定的实 数ps>0,s=1,,r，且p1+pr=1，令 ps1psn,A?F P?A?=???1s1?,??sn??A,?n?则P是F上的概率（称为多项概率）。??,F,P?是一个概率空间（称为多项概率空间）。若 A=?1,???s1?,?n?sn???是基本事件，则P?A?=pks1psn，且?rsn=1?ps1=1rs1psn=1。 在此例中，如果考虑的是一个n次独立重复试验，每次试验中可能出现r个结果 ??1?,,??r?，用?k?s?在第k次试验中出现结果??s?，sk=1,,r;k=1,,n ，则是此例 k的一个特殊，可建立相同的概率空间。 6.有限维（独立）乘积概率空间 定义 设 ??i,Fi,Pi?,1?i?n是n个概率空间，则在乘积可测空间 ??,F????1???n,F1??Fn?上存在唯一概率测度P，满足 ?An?=?Pi?Ai?=P1?A1?i?1nP?A1?Pn?An?,Ai?Fi, 称P为概率测度P1,,Pn的（独立）乘积概率测度，记为P=P1??Pn。称 ??,F,P?=??1???n,F1??Fn,P?P1?n?为??i,Fi,Pi?,1?i?n的（独立）乘积概 率空间，或直积概率空间。 7.无限维（独立）乘积概率空间 可数无限维（独立）乘积概率空间：