第十二章 轴对称 轴对称小结与复习
考点一 轴对称和轴对称图形
例1 （2010年贵州贵阳）如图1是小华画的正方形风筝图案，他以图中的对角线AB为对称轴，在对角线的下方再画一个三角形，使得新的风筝图案成为轴对称图形，若下列有一图形为此对称图形，则此图为 （ ）
A
B
图1
A B C D
解析：判断轴对称图形，关键是要看沿直线AB折叠后，两旁的图案是否完全重合，观察四个图形，只有第三个图形符合．故选C
点评：本题考查轴对称以及轴对称图形的概念．只有正确掌握它们的相关概念，才能灵活应用它们解题.
考点二 轴对称变换
例2 （2010年湖南长沙）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图2所示，A，B，C三点在格点上．
（１）作出 △ABC关于ｙ轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标； （２）作出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
A1C1B1C2A2B2
图2 图3
解析：（1）由图可知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2），它们关于y轴对称的点的坐标分别为A1（-2，4），B1（-1，1），C1（-3，2），顺次连接A1，B1，
C1，即得△ABC关于ｙ轴对称的△A1B1C1，如图3所示，且点C1的坐标为（-3，2）．
（2）同理可以做出△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，如图3所示，点C2的坐标是（-3，-2） .
点评：关于坐标轴对称的点的坐标特点：关于x轴对称的两个点的横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两个点的纵坐标相同，横坐标互为相反数．利用轴对称作图时，先找到图的顶点关于x（y）轴的对称点，然后顺次连接各点，即可得到求作的图形．
考点三 轴对称的探究与应用
例3 （2010年江苏淮安）（1)观察发现 如图4-(1)，若点A，B在直线l同侧，在直线
l上找一点P，使AP+BP的值最小．
做法如下：作点B关于直线l的对称点B?，连接AB?，与直线l的交点就是所求的点. 再如图4-(2)，在等边三角形ABC中，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值 AD.（填“大于”、“等于”或“小于”）
(1)
(2) （3）
图4 (2)实践运用
如图4-(3)，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．
解析：（1）因为E是AB的中点，所以CE是△ABC的边AB上的中线. 由于△ABC 是等边三角形，所以CE又是边AB上的高．又因为AD也是等边三角形ABC的高，所以CE=AD．由做法可知BP+PE的最小值是CE， 所以
BP+PE的最小值等于AD． 图5
（2）经过探究可以发现，要使∠APB=∠APD，则点B的对称点一定在直线DP上，因此有如下作法：如图5，找B关于AC对称点E，连接DE，并延长交AC于点P .
考点四 等腰三角形的性质
例4 （2010 年山东济南）如图6，已知AB?AC，AD?AE．求证BD?CE．
A B
D E
C
图6
证明一：∵ AB=AC， ∴ ∠B=∠C ． ∵ AD=AE， ∴ ∠ADE=∠AEC．
∴ 180 -∠ADE=180-∠AEC ，即∠ADB=∠AEC ． 在△ABD和△ACE中，AB=AC，∠B=∠C，∠ADB=∠AEC， ∴ △ABD≌△ACE． ∴ BD=CE．
证明二：作 AF⊥BC交BC于点F． ∵ AB=AC，AF⊥BC， ∴ BF=CF． ∵ AD=AE，AF⊥BC， ∴ DF=EF．
∴ BF-DF=CF-EF，即BD=CE．
点评：本题考查等腰三角形的性质，在等腰三角形中，等边对等角，等角对等边以及三线合一的性质是每年中考的必考考点之一．在证明线段相等时，不要总想着三角形全等，显然方法二比方法一简便．
考点五 等腰三角形的判定
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