2017中考试题汇编--------二次函数
(2017贵州铜仁)25.(14分)如图,抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),B(0,﹣2),并与x轴交于点C,点M是抛物线对称轴l上任意一点(点M,B,C三点不在同一直线上).
(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;
(2)在抛物线上找出两点P1,P2,使得△MP1P2与△MCB全等,并求出点P1,P2的坐标;
(3)在对称轴上是否存在点Q,使得∠BQC为直角,若存在,作出点Q(用尺规作图,保留作图痕迹),并求出点Q的坐标.
【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的表达式; (2)分三种情况:
①当△P1MP2≌△CMB时,取对称点可得点P1,P2的坐标; ②当△BMC≌△P2P1M时,构建?P2MBC可得点P1,P2的坐标;
③△P1MP2≌△CBM,构建?MP1P2C,根据平移规律可得P1,P2的坐标; (3)如图3,先根据直径所对的圆周角是直角,以BC为直径画圆,与对称轴的交点即为点Q,这样的点Q有两个,作辅助线,构建相似三角形,证明△BDQ1∽△Q1EC,列比例式,可得点Q的坐标.
【解答】解:(1)把A(﹣1,0),B(0,﹣2)代入抛物线y=x2+bx+c中得:
,
解得:
,
1
∴抛物线所表示的二次函数的表达式为:y=x2﹣x﹣2; (2)如图1,P1与A重合,P2与B关于l对称, ∴MB=P2M,P1M=CM,P1P2=BC, ∴△P1MP2≌△CMB,
∵y=x2﹣x﹣2=(x﹣)2﹣, 此时P1(﹣1,0),
∵B(0,﹣2),对称轴:直线x=, ∴P2(1,﹣2);
如图2,MP2∥BC,且MP2=BC, 此时,P1与C重合,
∵MP2=BC,MC=MC,∠P2MC=∠BP1M, ∴△BMC≌△P2P1M, ∴P1(2,0),
由点B向右平移个单位到M,可知:点C向右平移个单位到P2, 当x=时,y=(﹣)2﹣=, ∴P2(,);
如图3,构建?MP1P2C,可得△P1MP2≌△CBM,此时P2与B重合, 由点C向左平移2个单位到B,可知:点M向左平移2个单位到P1, ∴点P1的横坐标为﹣,
当x=﹣时,y=(﹣﹣)2﹣=4﹣=, ∴P1(﹣,),P2(0,﹣2);
(3)如图3,存在,
作法:以BC为直径作圆交对称轴l于两点Q1、Q2, 则∠BQ1C=∠BQ2C=90°;
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过Q1作DE⊥y轴于D,过C作CE⊥DE于E, 设Q1(,y)(y>0), 易得△BDQ1∽△Q1EC, ∴
,
∴=,
y2+2y﹣=0, 解得:y1=∴Q1(,
(舍),y2=),
);
)或(,
).
,
同理可得:Q2(,
综上所述,点Q的坐标是:(,
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