3.4 基本不等式
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．下列不等式正确的是( ) 1
A．a＋≥2
a?1?B．(－a)＋?－?≤－2
?a?
?1?22
D．(－a)＋?－?≤－2
?a?
a2＋2
a21
12
C．a＋2≥2
a122
解析：因为a＋2中a>0，所以
a≥a2·2，
a1
1?21?12
即?a＋2?≥1，所以a＋2≥2.
a?2?a答案：C
1x2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n＝3(x<1)，则m，n之间的大小关系是( )
aA．m>n C．m＝n
1
解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2B．m aa·＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．又因为x<1，a1 所以n＝3<3＝3，所以m>n. 答案：A 3．已知0 1B. 22D. 3 x1 11931 解析：由x(3－3x)＝×3x(3－3x)≤×＝，当且仅当3x＝3－3x，即x＝时等号成立． 33442答案：B 1 4．已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有( ) xA．最大值为0 C．最大值为－4 B．最小值为0 D．最小值为－4 1 解析：∵x<0，∴f(x)＝－?－1时取等号． 答案：C ?－x＋1?－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝1，即x＝ ?－x?－x? 5．下列不等式中正确的是( ) 4 A．a＋≥4 aB．a＋b≥4ab 32 D．x＋2≥23 22 C.ab≥ a＋b2 x422 解析：a<0，则a＋≥4不成立，故A错；a＝1，b＝1，a＋b<4ab，故B错，a＝4，b＝16，则 aa＋bab<，故C错；由基本不等式可知D项正确． 2 答案：D 6．已知a>b>c，则 a－ba－cb－c与的大小关系是________． 2 解析：因为a－b>0，b－c>0，a－c>0. 所以 a－bb－c≤ a－b＋b－c2 ＝ a－c2 . 当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号． 所以答案： a－ba－bb－c≤ a－c2 . a－cb－c≤ 2 18 7．当x>时，函数y＝x＋的最小值为________． 22x－11 解析：设t＝2x－1，∵x>，∴2x－1>0，即t>0， 2∴y＝ t＋18t81 ＋＝＋＋≥22t2t2t819 ·＋＝. 2t22 t85 当且仅当＝，即t＝4， x＝时，取等号． 2t2 9 答案： 2 8．若x，y均为正实数，且x＋4y＝1，则x·y的最大值为________． 解析：1＝x＋4y≥24xy＝4xy， 2 1 ∴xy≤，当且仅当x＝4y时等号成立． 161 答案： 16 9．已知不等式ax－3x＋2<0的解集为A＝{x|1 (2)求函数f(x)＝(2a＋b)x＋ 25 (x∈A)的最小值． b－ax＋a2 2 解析：(1)由题意知，1，b是方程ax－3x＋2＝0的两根，且b>1， ??a－3＋2＝0，∴?2 ?ab－3b＋2＝0，? ??a＝1， 解得? ?b＝2.? (2)由(1)得f(x)＝(2×1＋2)x＋＝4(x＋1)＋ 25 －4≥2x＋1 4 2525 ＝4x＋ 2－1x＋1x＋1 25 x＋1·－4＝16. x＋1 当且仅当4(x＋1)＝ 253 ，即x＝∈A时等号成立． x＋12 ∴函数f(x)的最小值为16. 10．某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100万元，每辆车第一年各种费用约为16万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16万元． (1)写出4辆车运营的总利润y (万元)与运营年数x(x∈N)的函数关系式； (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 解析：(1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x) 1 ＝200＋x(x＋1)·16(万元)． 21?∴y＝4?100x－200－x2? 2 * x＋1·16?? ? ＝16(－2x＋23x－50)． (2)年平均利润为 50?y???25??＝16?23－2x－?＝16?23－2?x＋??. x?x??x???又x∈N， * 3