一类第二类曲面积分侧的确定
萧萧落木623
摘要：本文针对第二类曲面积分侧的确定这一难点展开讨论，处理的一类题型是当给定曲面的上或下侧时，如何简单地确定积分的前后或者左右侧. 文中通过对一般第二类曲面积分的分析，应用法向量以及第一类与第二类曲面积分间联系的理论知识，得出了确定积分侧普遍适用的结论. 再对具有特殊结构的曲面和被积函数进行分析，得到了更为简便的结论. 关键词：第二类曲面积分；侧；法向量.
一、问题的提出与分析
1. 问题提出.
计算第二类曲面积分时，侧的确定是关键因素. 题目中一般不会直接给出相对于坐标轴确定的一侧，大多数情况下，仅仅会说明相对于整个曲面而言的侧.
例如，积分沿着球面外侧.
再如，所求积分的形式为I=??f(x,y,z)dydz，沿着曲面?的上侧. 显然求
?该积分I，要确定的是相对于x轴曲面的前后侧. 因此，就需要将给定的上侧转化为曲面的前或后侧.
本文所研究的问题是针对以上的第二类情形，简化第二类曲面积分侧的转化过程，从而简化积分I的计算.
2.分析问题. (1) 研究对象.
为了确定曲面的侧，首要的研究对象是曲面；同时，简化侧的确定过程目的就是为了简化积分的计算，这里还要对被积函数进行分析与讨论. (2) 与该问题相关的知识及理论.
曲面上点的切面的法向量；第一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系. 二、定义
dxdy取正时，表示积分沿着曲面的上侧；dxdy取负时，表示积分沿着曲面
的下侧.
同理，可定义dxdz、dydz取正或者负时所代表的意义.[1]
三、问题的解决
这里仅对问题提出中所论及的情形进行讨论和研究，对于第二类曲面积分
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??
?f(x,y,z)dxdy，??f(x,y,z)dxdz的分析与此相同.
?以下将对曲面?的一般形式和参数方程形式进行分类讨论. 1.曲面?的方程为F(x,y,z)?0.
根据第一类曲面积分与第二类曲面积分之间的联系，有如下等式 ： I=??f(x,y,z)dydz=??f(x,y,z)cos?dS ，
???n={cos?,cos?,cos?}为曲面取上侧时点的切面的单位法向量，容易得出，
cos??0.再对该等式变换后，可得 I=??f?x,y,z???通过曲面方程知，单位法向量n=?FxF?F?F2x2y2zcos?dxdy. cos?{Fx,Fy,Fz}. 当积分沿着曲
FzF?F?F2x2y2z1Fx?F?F22y2z面取上侧时，则cos?=?，cos?=?.
因此，I=??f?x,y,z??FxFdxdy. 故dydz=xdxdy.由定义，dxdy?0.
FzFz综上，可以得出结论：在Fx、Fz同号的区域内，dydz?0，积分沿曲面取前侧；在Fx、Fz异号的区域内，dydz?0，积分沿曲面取后侧.
2. 曲面?的方程为参数方程
?x?x(u,v)??y?y(u,v) 设曲面?的参数方程为? ，令n={cos?,cos?,cos?}为曲面取上侧?z?z(u,v)??时点的切面的单位法向量，cos??0. 则n=?1A?B?C222{A,B,C}.
I=???f(x,y,z)cos?dS=?若C?0，
?有 n=???f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v??cos?A2?B2?C2dudv.
1A?B?C222{A,B,C}，则I=??f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v??Adudv，
?即A?0时取前侧，A?0时取后侧；
2
若C?0，
?有n=?1A?B?C222则I??{A,B,C}，
,?A,?dudv???,y?,uv?,zuv??f?xuv?，
即A?0时取后侧，A?0时取前侧.
综上，可以得出结论：在A、C同号的区域内，积分沿着曲面取前侧；在A、C异号的区域内，积分沿着曲面取后侧.
四、特殊条件下的相应结论
在问题的解决中所得出的结论比较宽泛，而针对一些有特殊结构特点第二类曲面积分，则可以得出更为有用的结论.
1. (1) 显然，在曲面?内，若Fx、Fz始终同号，则积分沿曲面取前侧；若Fx、
Fz始终异号，则积分沿曲面取后侧；
(2) 曲面?满足：在x?0区域内，Fx、Fz同号（异号），在x?0区域内， （同号），若f?x,y,z?是关于x的奇函数，即f?x,y,z???f??x,y,z?， Fx、Fz异号
则积分始终沿着曲面取前侧.
( I?I1?I2???f?x?y,z?,y,z?dydz???f??x?y,z?,y,z?dy'dz'，
?1?2I1取前侧，I2取后侧. I2=???f?x?y,z?,y,z?dy'dz'=??f?x?y,z?,y,z?dydz.
?2?2所以，I???例1 . I=???1??1f?x?y,z?,y,z?dydz.)
Sx2y2z2yzdzdx，S为2?2?2?1,a?0,b?0,c?0的上半表面的上侧.
abc试确定I关于y轴的侧.
2z2y解：Fz?2，Fy?2. y?0时，Fz,Fy同号；y?0时，Fz,Fy异号. 且被积函
ab数yz是关于y的奇函数， 因此，积分I沿着曲面取右侧.
2. (1) 显然，在曲面?内，若A、C始终同号，则积分沿曲面取前侧；若A、C始终异号，则积分沿曲面取后侧；
(2) 曲面?满足：在x?0区域内，A、C同号（异号），在x?0区内，
A、C异号（同号），若f?x,y,z?是关于x的奇函数，即f?x,y,z???f??x,y,z?，
则积分始终沿着曲面取前侧.
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(
I?I1?I2???f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v??Adudv????f??x?u,v?,y?u,v?,z?u,v??Adudv
?1?1I1取前侧，I2取后侧. I2=??f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v??Adudv，所以，
?2I????1??1f?x?u,v?,y?u,v?,z?u,v??Adudv.)
S例2 . I=??zdxdy，S是球面：x?sin?cos?,y?sin?sin?,z?cos?
???0????,0?????，且积分沿着球面前侧.试确定积分上下侧.
2??解：A?D(y,z)D(x,y)?sin2?cos?,C??sin?cos?，z?0时，C?0；
D??,??D??,??当z?0时,C?0.且被积函数z是关于z 的奇函数，因此，积分沿着球面取上侧.
五、结束语
本文对第二类曲面积分侧的确定过程的思路清晰. 先分析了所要解决的问
题，利用基础理论知识给出了较为一般的结论，再由一般情形过渡到曲面即被积函数具有特殊结构的积分，得到更为方便应用的结论.
但是，也有不足. 在分析特殊结构的积分时，仅考虑了两种情形，其它情形的结论还有待于进一步挖掘.
参考文献：
[1]. 裴礼文，数学分析中的典型问题与方法，北京，高等教育出版社，2006； [2]. 欧阳光中、朱学炎等，数学分析（下册），北京，高等教育出版社，2007.
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