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2.1.3 函数的单调性
课堂探究
探究一用定义法证明(判断)函数的单调性
如果要证明一个函数的单调性，目前只能严格按照定义进行，步骤如下：
(1)取值：设x1，x2为给定区间内任意的两个值，且x1＜x2(在证明函数的单调性时，由于x1，x2的取值具有任意性，它代表区间内的每一个数，所以在证明时，不能用特殊值来代替它们)；
(2)作差变形：作差Δy＝f(x2)－f(x1)，并将差向有利于判断差值的符号的方向变形(作差后，尽量把差化成几个简单因式的乘积或几个完全平方式的和的形式，这是值得学习的解题技巧，在判断因式的正负号时，经常采用这种变形方法)；
(3)定号：判断符号的依据是自变量的取值范围、假定的大小关系及符号的运算法则； (4)判断：根据定义作出结论(若Δx＝x2－x1与Δy＝f(x2)－f(x1)同号，则函数在给定区间是增函数；异号，则是减函数)．
【典型例题1】 利用单调性的定义证明函数f(x)＝
1在(－∞，0)上是增函数． 2x思路分析：解题的关键是对Δy＝f(x2)－f(x1)合理变形，最终要变为几个最简单因式乘积或相除的形式，以便于判号．
证明：设x1，x2是(－∞，0)内的任意两个值，且x1＜x2，则Δx＝x2－x1＞0，
2x12?x211Δy＝f(x2)－f(x1)＝2－2＝22
x2x1x1?x2＝
(x1?x2)(x1?x2)??x?(x1?x2)＝， 2222x1?x2x1?x21在(－∞，0)上是增函数． x2∵x21·x22＞0，x1＋x2＜0，－Δx＜0，∴Δy＞0. ∴函数f(x)＝
探究二 利用图象求函数的单调区间
1．由函数的图象得出单调区间是常用的一种方法，但一定要注意画图的准确性及端点处的处理．如果函数的定义域内不含端点，则要写成开区间；如果端点在其定义域内，则写成开区间和闭区间均可，但最好加上区间端点．
2．初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数的单调区间可以作为常用结论，在某些题目中可以直接使用．
3．加绝对值的函数图象的处理方法
常见的加绝对值的函数有两种，一种是y＝f(|x|)，自变量上加绝对值；另一种是y＝
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|f(x)|，函数值上加绝对值．加绝对值的函数图象的画法也有两种：
(1)通过讨论绝对值内的式子的正负，去掉绝对值符号，把函数化为分段函数，再依次画出分段函数每一段的函数图象．
(2)利用函数图象的变换，即通过图象间的对称变换，得到已知函数的图象． 【典型例题2】 已知x∈R，函数f(x)＝x|x－2|，试画出y＝f(x)的图象，并结合图象写出函数的单调区间．
思路分析：首先分类讨论，去掉绝对值号，将函数化为分段函数，然后画出图象求解即可．
?x(x－2)，x?2，解：f(x)＝x|x－2|＝?图象如下图所示．
x(2－x)，x?2，?
由图象可知，函数的单调增区间为(－∞，1]，[2，＋∞)；单调减区间为[1,2]． 探究三 函数单调性的简单应用
函数单调性的简单应用一般表现为以下三个方面：
(1)比较大小：利用函数的单调性可以把函数值的大小比较问题转化为自变量的大小比较问题；
(2)求函数的值域：根据函数的单调性可求出函数在定义域上的最值，进而求出值域； (3)求解析式中的参数(或其范围)：根据函数的单调性的定义可列出参数满足的等式(或不等式)，进而可求出参数(或其范围)．
【典型例题3】 (1)已知函数f(x)＝x＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围；
(2)已知函数g(x)在R上为增函数，且g(t)＞g(1－2t)，求t的取值范围．
思路分析：(1)先将函数解析式配方，找出对称轴，画出图形，寻找对称轴与区间的位置关系求解；(2)充分利用函数的单调性，实现函数值与自变量不等关系的互化．
解：(1)∵f(x)＝x＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]－(a－1)＋2，∴该二次函数图象的对称轴为x＝1－a.
∴f(x)的单调减区间为(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是减函数，
∴对称轴x＝1－a必须在直线x＝4的右侧或与其重合． 最新K12
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∴1－a≥4，解得a≤－3.
(2)∵g(x)在R上为增函数，且g(t)＞g(1－2t)， ∴t＞1－2t.∴t＞
1?1?，即所求t的取值范围为?,???. 3?3?点评(1)已知函数的单调性求参数范围，要注意数形结合，画出图象，往往解题很方便，同时要采取逆向思维求解；
(2)充分利用了函数的单调性，在单调区间内，变量与函数值之间的关系，将函数值的不等关系转化为自变量取值的不等关系，即将抽象不等式转化为具体不等式求参数t.
探究四 易错辨析
易错点 忽视分段函数分点处的单调性而致误
?－x2＋2ax－2a，x?1，【典型例题4】 若函数f(x)＝?是(－∞，＋∞)上的减函数，
?ax＋1，x?1则实数a的取值范围是( )
A.(－2,0) B．[－2,0) C．(－∞，1] D．(－∞，0) 错解：D
?a?0，解析：由f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数可知，?得a＜0.
a?1，?错因分析：错解只能保证函数在每段上是减函数，而不能保证在整个定义域上是减函数，因此还要对分点处的函数值进行大小比较．
正解：B
解析：由x≥1时，f(x)＝－x＋2ax－2a是减函数，得a≤1，由x＜1时，f(x)＝ax＋1是减函数，得a＜0，分段点1处的值应满足－1＋2a×1－2a≤1×a＋1，解得a≥－2，所以－2≤a＜0.
点评在应用分段函数整体的单调性求解参数的取值范围时，不仅要保证分段函数在每一段上是单调的，而且还要求函数的特殊点——分段点处的值，也要结合函数的单调性比较大小．
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