1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长?m与温度T成反比，即
； ?m T=b（常量）
并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
8?hv3?vdv?3?c1hvkTdv， （1）
e?1以及 ?v?c， （2）
?vdv???vd?， （3）
有
dvd??c?d????????v(?)d?
?(?)?v?c??????8?hc?5??1ehc?kT,?1这里的??的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，??取得极大值，因此，就得要求?? 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作?m。但要注意的是，还需要验证??对λ的二阶导数在?m处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的?m就是要求的，具体如下：
???'8?hc?6?e1hc?kT?hc1??5??hc???kT??1?1?e?kThc??kT11?e?hc?kT???0 ???? ?5??0
? 5(1?e如果令x=
hc ，则上述方程为 ?kT?hc?kT)?hc ?kT5(1?e?x)?x
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
hc?mT?
xk把x以及三个物理常量代入到上式便知
?mT?2.9?10?3m?K
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv，
hP?
?如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动???ec2），那么
p2 E?2?e如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
??
h
p
???h2?eEhc2?ec2E1.24?10?662?0.51?10?3?0.71?10?9m?0.71nm在这里，利用了
m
hc?1.24?10?6eV?m
以及
?ec2?0.51?106eV
最后，对
??hc2?ecE2
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
31．3 氦原子的动能是E?kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德
2布罗意波长。
解 根据
1k?K?10?3eV，
知本题的氦原子的动能为
E?33kT?k?K?1.5?10?3eV, 22显然远远小于?核c2这样，便有
??hc2?核cE2