2018年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷1,解析版)

由(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF. 可得则

.

为平面ABFD的法向量.

设DP与平面ABFD所成角为,则.

所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.

点睛:该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有面面垂直的证明以及线面角的正弦值的求解,属于常规题目,在解题的过程中,需要明确面面垂直的判定定理的条件,这里需要先证明线面垂直,所以要明确线线垂直、线面垂直和面面垂直的关系,从而证得结果;对于线面角的正弦值可以借助于平面的法向量来完成,注意相对应的等量关系即可. 19. 设椭圆

的右焦点为,过的直线与交于

的方程;

. 或

.

两点,点的坐标为

.

(1)当与轴垂直时,求直线(2)设为坐标原点,证明:【答案】(1) AM的方程为(2)证明见解析.

【解析】分析:(1)首先根据与轴垂直,且过点的坐标为

,利用两点式求得直线

,求得直线l的方程为x=1,代入椭圆方程求得点A的方程;

(2)分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明,特殊情况比较简单,也比较直观,对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现,从而证得结果. 详解:(1)由已知得

,l的方程为x=1.

或或

. .

由已知可得,点A的坐标为所以AM的方程为

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(2)当l与x轴重合时,.

. ,

.

当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为则由

,直线MA,MB的斜率之和为

.

将代入得 .

所以,.

则从而综上,

,故MA,MB的倾斜角互补,所以

.

.

.

点睛:该题考查的是有关直线与椭圆的问题,涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量,在解题的过程中,第一问求直线方程的时候,需要注意方法比较简单,需要注意的就是应该是两个,关于第二问,在做题的时候需要先将特殊情况说明,一般情况下,涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组,之后韦达定理写出两根和与两根积,借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.

20. 某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为

,求

,且各件产品是否为不合格品相互独立. 的最大值点.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的作为的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为,求

;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

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【答案】】(1)(2) (i)490.

.

(ii)应该对余下的产品作检验.

【解析】分析:(1)利用独立重复实验成功次数对应的概率,求得

导数在相应区间上的符号,确定其单调性,从而得到其最大值点,这里要注意(2)先根据第一问的条件,确定出

,之后对其求导,利用的条件;

,在解(i)的时候,先求件数对应的期望,之后应用变量之间的关

系,求得赔偿费用的期望;在解(ii)的时候,就通过比较两个期望的大小,得到结果. 详解:(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为

.

令所以

,得

.当

. .

,即

时,

;当

时,

. .因此

的最大值点为

(2)由(1)知,

(i)令表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知

.

所以

.

(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于

,故应该对余下的产品作检验.

点睛:该题考查的是有关随机变量的问题,在解题的过程中,一是需要明确独立重复试验成功次数对应的概率公式,再者就是对其用函数的思想来研究,应用导数求得其最小值点,在做第二问的时候,需要明确离散型随机变量的可取值以及对应的概率,应用期望公式求得结果,再有就是通过期望的大小关系得到结论. 21. 已知函数

(1)讨论(2)若

的单调性; 存在两个极值点

时,

,证明:

单调递减., 单调递减,在

单调递增.

【答案】(1)当当

时,

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(2)证明见解析.

【解析】分析:(1)首先确定函数的定义域,之后对函数求导,之后对进行分类讨论,从而确定出导数在相应区间上的符号,从而求得函数对应的单调区间; (2)根据

存在两个极值点,结合第一问的结论,可以确定

,令

,得到两个极值点

是方程

的两个不等的正实根,利用韦达定理将其转换,构造新函数证得结果.

详解:(1)(i)若(ii)若

的定义域为,则,令

,或

,所以.

. 在

单调递减.

,当且仅当得,

当时,;

当时,.所以在单调递减,在

单调递增.

(2)由(1)知,由于

存在两个极值点当且仅当

满足

,所以

.

,不妨设

,则

.由于

的两个极值点

所以等价于.

设函数,由(1)知,在单调递减,又,从而当时,.

所以,即.

点睛:该题考查的是应用导数研究函数的问题,涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性、应用导数研究函数的极值以及极值所满足的条件,在解题的过程中,需要明确导数的符号对单调性的决定性作用,再者就是要先保证函数的生存权,先确定函数的定义域,要对参数进行讨论,还有就是在做题的时候,要

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