类比推理问题—高考命题新亮点
类比是常见而重要的一种数学思想方法，它是指在新事物与已知事物之间的某些方面作类似的比较，把已经获得的知识、方法、理论迁移到新事物中，从而解决新问题。类比不仅是一种富有创造性的方法，而且更能体现数学的美感。
（一）不同知识点之间的类比
数学中的不同知识点在教材中是相对分散的，知识点之间的联系需要教师通过自己的数学设计展示给学生，从而使得学生的概念图网络更加丰富和结构化。它不仅可以在知识复习中使用，也可以在新知识的学习中进行。 1、立体几何中的类比推理
【例1】若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2与点N1、N 2，则三角形面积之比为：
若从点O所作的不在同一个平面内的三条射线OP、OQ和OR上分
别有点P1、P2与点Q1、Q2和R1、R2，则类似的结论为： 。
【分析】在平面中是两三角形的面积之比，凭直觉可猜想在空间应是体积之比，故猜想
（证明略）
评注 本题主要考查由平面到空间的类比。要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空
间三棱锥体积比的相应结论。
【例2】在
中有余弦定理：
拓展到空间，类
的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间
比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的关系式，并予以证明。
【分析】根据类比猜想得出
与
所成的二面角的平面角。
其中为侧面为
证明：作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，
·1·
在
即
中有余弦定理：，同乘以
，得
评注 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三角柱的拓展推广，因为类比是数学发现的
重要源泉，因此平时的教学与复习中更要注意类比等思想方法的学习。
【例3】 在平面几何中有“正三角形内任一点到三边的距离之和为定值”，那么在立体几何中有什么结论呢？
解析 “正三角形”类比到空间“正四面体”，“任一点到三边距离之和”类比到空间为“任一点到四个面的距离之和”，于是猜想的结论为：正四面体内任一点到其各面距离之和为定值。
图1
如图1，设边长为的正三角形内任一点到其三边的距离分别为、、，将
分割成三个小三角形，则有，即距离之和
·2·
为正三形的高（定值） 图2
类似地，如图2,设棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离分别为、、、
， 将正四面体分割成以为顶点，以四个面为底面的小三棱锥，则有，于是
所以为定值
【例4】 在平面几何中，有勾股定理：设的两边、互相垂直，则
。拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间
的关系，可得出的正确结论是：“设三棱锥直，则
答案为
的三个侧面
、
、
两两互相垂
类比不仅可以提供探求新背景下结论的思路，而且也为寻求结论的证明提供方法上的指导。将平面图形中的三角形与立体图形中的多面体进行类比，使不同数学分支之间的知识得到了巧妙的沟通，也使解题过程得到美化，让人有意犹未尽却又顺理成章的感觉。 2、解析几何中的类比推理
【例5】已知两个圆：
①
与
②，则由①式减去②式可得上述两
圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，既要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 。
·3·