2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
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日期： 2011 年 09 月 12 日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
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城市表层土壤重金属污染分析
摘 要
本文针对城市表层土壤受重金属污染问题进行综合分析。首先运用Matlab软件求解8种主要重金属元素在城区空间分布，土壤受污染主要原因，传播特征以及为今后如何更好研究地质演变问题分别建立了相应的数学模型，并对其求解结果作出了分析。
针对问题1，根据各种污染物浓度在不同区域内分布的随机性，利用空间内插值法，以城市位置为平面“横纵向”，污染物浓度为“竖向”建立三维空间模型，得到这8种重金属元素的空间分布图，直观反映出污染物浓度的等值线，得到污染物浓度的分布规律和各种重金属元素的污染浓度范围区块。然后通过建立污染负荷指数法模型算出各区的(PLI)值，生活区(PLI)为1.8336，工业区(PLI)为2.1573，山区(PLI)为1.0602，交通区(PLI)为1.9209，公园绿地区(PLI)为1.5780；结果表明工业区的污染程度最高为2级强污染，其他区为1级中等污染。
针对问题2，根据问题1中不同功能区重金属的污染程度与附件2的数据，利用Pearson相关性分析和主成分分析法，建立了相关性模型与主成分模型，对应找出各区重金属污染的主要因子，得到该城区的重金属污染主要元素为：Cd、Cu、Hg、Pb，污染主要原因为冶炼、化物生产等工业废水、污泥，汽车尾气排放。
针对问题3，根据重金属污染物的圆型传播特征，利用物理热力学第二定理，分别建立了一维土壤迁移模型、沉降模型和最优解模型，确定了生活区有3个污染源：分别为样本点20、306、259；工业区的污染源为样本点261 ；山区的污染源为样本点62 ；交通区有2个污染源：分别为样本点245、292 ；公园绿地区的污染源为样本点315 。其结果与重金属元素在该城区的空间分布图作对比，吻合得很好。
针对问题4，通过对问题1,2,3所建模型优缺点的分析，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集城区每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放放量、每年的生物降解量、排污企业个数的增减值、PH值、河流所经区域等信息。根据这些信息建立时间序列模型，用此模型预测未来时间段该城区的土壤中重金属含量变化情况，结合问题1,2,3所建模型可以更好地为今后如何使用专业降浓剂保证土壤良好性的用剂量提供参考依据。
关键词：重金属 空间分布 污染负荷指数 主成份分析 最优解
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一、问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二、问题分析
2.1 问题一的分析
通过对附件1的数据进行处理求出该城区的城区状貌，并对该城区利用三维插值法求出8种主要重金属元素在该城区的空间分布。并对8种金属分别进行查找出各自范围区块。
利用最高污染系数(CF)分别求出8种重金属的各自污染系数，然后利用污染负荷指数法(PLI)求出319个地点的重金属污染程度。根据这些地点的污染程度对5个不同区域进去综合评价得出不同区域的污染程度。 2.2 问题二的分析
研究重金属污染的主要原因既为研究重金属污染的主要来源，而同一活动可以产生许多污染物，同一种污染物的来源也不尽相同。因此利用Pearson相关分析和主成份分析方法解析重金属污染的元素和分析土壤重金属污染物的来源和类别。通过对附件2、3的数据进行分析综合运用这些统计分析方法来分析5个不同区域的8种重金属污染物的来源，并对5个不同区域查找相关性比较强的区域。最后综合5个不同区域的来源分析出该城区的重金属污染的主要原因。
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2.3 问题三的分析
对于重金属的传播特征形式，利用生物学基础对各种金属在该城区的传播形式进行假设分析出三种传播特征：圆型传播、条型传播、散点传播。结合前两问求出的结果和8种主要金属元素浓度含量的空间分布图分别求出属于圆型传播、条型传播、散点传播的金属元素，由此可对这8种重金属元素综合归类为那种传播特征。
由于污染源在不同区域的位置对各个区域的影响有一个直接影响值，在污染源数目较多的场合下，要确定最优解的模型污染源是很困难的，而且在处理数据时还有考虑该地区的地势情况中的地下金属传播途径的迁移形式和大气中大气降沉形式，则综合考虑该城区的污染源就更困难。因此通过对模型的研究，建立迁移模型、沉降模型对土壤金属流动进行分析，再结合最优解模型找出该城区5个不同区域的污染源。 2.4 问题四的分析
对于前三问建立的模型和结果进行分析查找出所建立的模型对该城区和不同区域的优缺点。
由于该城区的城市布局和降水量，PH值等不知道，因此需要去完善模型并预测地质的演变，就得收集城区每年生活工业等重要污染源的垃圾排放放量以及每年的生物降解量，降雨量，PH值，河流所经区域等。通过这些数据建立起各重金属元素与时间有关的时间预测模型，由此可预测出未来时间段内的土壤重金属浓度，即知道该城区地质环境的演变模式。且根据不同功能区的不同安全浓度指标，以及考虑大气压降和地势海拔等因素，制定出未来时间段内如何使用专业降浓剂保证土壤良好性的用剂量，这样，既达保证了经济效益又保护了土壤环境。
三、问题假设
1.该城区城市布局合理；
2.该城区土壤重金属元素来源不受其他城区影响，数据采样都是可靠准确； 3.假设每个样本点都能很好的反映该平方公里的实际情况； 4.污染物的排放瞬时完成，且排放速率恒定； 5.气体的传播服从扩散定律，非稳态； 6.污染物的沉降速率恒定；
四、符号说明
CFi：元素的最高污染系数； Ci：元素i的实测含量；
C0i：元素i的评价标准，既背景值。
：污染负荷指数; PLIc:土壤重金属在液相的浓度； s:土壤重金属在固相中的浓度； Mij：在区域点i,j重金属浓度；
M：总重金属的浓度；
Qt：土壤重某金属在t年后的含量； t：预测年限；
n：评价元素的个数；
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