例1 :写出剩余类加群Z15的
(1) 全部元素; { [0], [1], …, [14]}
(2) 全部生成元; { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (3) 全部子加群； ?[0]?, ?[1]?= Z15, ?[5]?={[0], [5], [10]}= ?[10]?,
?[3]?={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ?[6]?= ?[9]?= ?[12]?.
(4) 每个元素的负元； ?[1]=[14], ?[2]=[13], ?[3]=[12],
?[4]=[11], ?[5]=[10], ?[6]=[9], ?[7]=[8].
(5) 全部理想； ([0]), ([1]) = Z15, ([5])={[0], [5], [10]}= ([10]),
([3])={ [0], [3], [6], [9], [12]} = ([6])= ([9])= ([12]).
(6) 全部可逆元； { [1], [2], [4], [7], [8], [11], [13], [14]} (7) 全部零因子； { [3], [5], [9], [10], [12]}
(8) Z15是域吗？说明理由; 不是。因为有零因子。 一、选择题
1、设实数在有理数域Q上的极小多项式f(x)的次数为n, 则可以用圆规直尺作图作出的条件是 (A) (A) n是2的方幂； (B) n是素数； (C) n是素数的方幂； (D) n>2。
2、设H是群G的正规子群，商群G/H中的元素是 (C) (A) H中的元素； (B) G\\H中的元素；
(C) G关于H的所有右陪集； (D) H的所有共轭1Hg?g.
3、设 ? : R ? S 是环同态, 则同态的核是 (D) (A) Ker(?)={a?S: 有 ?b?R, 使得 ?(b)=a}； (B) Ker(?)={a?R: ? (a)=a }； (C) Ker(?)={a??R: ? (a)=1}； (D) Ker(?)={a??R: ? (a)=0}。
4、设I是交换环R的理想, |R|=81, |I|=3, 下列结论中正确的是(B) (A) R一定是特征为3的域; (B) 商环R/I中有27个元素;
(C) R可能是域且I是R的子域，[R : I]=3; (D) 商环R/I一定是特征为3的域。 二、简答题
5、剩余类环 Z6 是域吗？为什么？ 答：Z6不是域。因为6不是素数。
（或：因为Z6中有零因子[2][3]=[0]；或：因为[2]没有逆元。） 6、环R的含有单位元的理想有多少个？为什么？
答：只有一个。因为，设I是R的任一理想，若单位元1?I，则??a?R，由理想的吸收性，则 a=a1 ? I，故必I=R。所以，R的含有单位元的理想只有一个，就是R。 7、300阶群G有7阶元吗? 为什么？ 答：没有。因为，假如G有7阶元，
由Largrange定理，则7 | |G|=300，矛盾。
8、x3?2?是实数 2 ?1 在有理域上的极小多项式吗？为什么？
3答：不是。因为实数 ， 3 2 ? 1不是x3?2的根。 9、设有限域F含有343个元素，说明Z7是F的素域。 答：因为|F|=343=73，可知F的特征是7，因而Z7是F的素域。 10、把置换ρ=(1365)(3457)(7215)表示为不相交的轮换的乘积 解：(1365)(3457)(7215)=(17234)(56) 11、计算20072007 (mod 5) 解：2007≡2 (mod 5 )
2007?2007=20074×501+3≡24×501 23 ≡3(mod 5). 12、设f(x)=x4+x+1?Z2[x],
(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式; (2) 证明: f(x)在Z2[x]中不可约;
(1) 求Z2[x]中所有一次和二次不可约多项式; 解: (1) Z2[x]中的一次和二次多项式只有
x, x+1, x2 + x + 1, x2, x2 + x, x2 + 1, 其中 x2 和 x2+x 显然是可约的, x2+1= ( x+1) 2 也是可约的, 而二次多项式 x2+x+1 在Z2上没有根, 故不可约. 所以, Z2[x] 中的一次和二次不可约多项式只有: x, x + 1, x2 + x + 1. (2) 证明: f(x) )=x4+x+1在Z2[x]中不可约; 证明. 容易验证, f(x)在Z2上没有根,
因而, 由?( f(x))=4知, f(x)没有一次和三次因式. 假设f(x) 是可约的, 则f(x) 只有二次不可约因式, 由(1), 即有 f(x)= (x2+x+1) 2 = x4+x2+1= x4+x+1= f(x), 矛盾. 所以, f(x) 在 Z2[x] 中不可约。
13、13、设G是群, Z(G)={a?G: ?g? ?G, ga=ag}是G的中心. 证明: (1) Z(G)是G的正规子群;
(2) 如果商群G/Z(G) 是循环群, 则G是交换群。 (1) 证明: 任取 ?a, b?Z(G), ?g ?G, 由Z(G)的定义有 ga=ag, bg=gb, 于是
b?1?g = g b?1?, ab ?1?g = agb?1? =?gab ?1? , 从而得ab ?1? ?Z(G), 即Z(G)是G的子群. 在由Z(G)的交换性, 易知Z(G)是G的正规子群. (2) 如果商群G/Z(G) 是循环群, 则G是交换群。
证明: 若G/Z(G)是循环群, 则有g?G 使得G/Z(G)=
同理, 有正整数 l ?N 和 b ?Z(G) 使得 y = gl b. 于是由Z(G)的交换性有
xy = gk a gl b = gk gl ab = gl gk ba = gl b gk a = yx. 所以, G是交换群.
14、证明：模 n 的剩余类环 Zn 的每个子加群都是理想。 证明：设I是Zn的任一子加群，