小学奥数教程:三角形等高模型与鸟头模型 _全国通用(含答案)

例题精讲

4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型

板块一 三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式:三角形面积?底?高?2

从这个公式我们可以发现:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变,高越大(小),三角形面积也就越大(小); 如果三角形的高不变,底越大(小),三角形面积也就越大(小);

这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生

1变化时,三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍,底变为原来的,则三角形面积与原来的一

3样.这就是说:一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等;

②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如左图S1:S2?a:b

ABs1as2bCD

③夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图S△ACD?S△BCD;

反之,如果S△ACD?S△BCD,则可知直线AB平行于CD.

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半;

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.

板块二 鸟头模型

两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比.

如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点如图 ⑴(或D在BA的延长线上,E在AC上), 则S△ABC:S△ADE?(AB?AC):(AD?AE)

DAADEBCBEC

图⑴ 图⑵

【例 1】 如图在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,且AD:AB?2:5,AE:AC?4:7,S△ADE?16平

方厘米,求△ABC的面积.

AADEDEBCB

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE,S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?4):(5?4),

C

S△ABE:S△ABC?AE:AC?4:7?(4?5):(7?5),所以S△ADE:S△ABC?(2?4):(7?5),设S△ADE?8份,

则S△ABC?35份,S△ADE?16平方厘米,所以1份是2平方厘米,35份就是70平方厘米,△ABC的

面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 .

【答案】70

【巩固】如图,三角形ABC中,AB是AD的5倍,AC是AE的3倍,如果三角形ADE的面积等于1,那

么三角形ABC的面积是多少?

AADEDEC BBC

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE.

∵EC?3AE ∴SABC?3SABE 又∵AB?5AD

∴SADE?SABE?5?SABC?15,∴SABC?15SADE?15.

【答案】15

【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,BD?DC?4,BE?3,AE?6,乙部分面

积是甲部分面积的几倍?

AAEB甲E乙CB甲D乙CD

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD.

∵BE?3,AE?6

∴AB?3BE,SABD?3SBDE 又∵BD?DC?4,

∴SABC?2SABD,∴SABC?6SBDE,S乙?5S甲.

【答案】5

【例 2】 如图在△ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD?5:2,

AE:EC?3:2,S△ADE?12平方厘米,求△ABC的面积.

DDAAEBCBE

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE,S△ADE:S△ABE?AD:AB?2:5?(2?3):(5?3)

S△ABE:S△ABC?AE:AC?3:(3?2)?(3?5):?(3?2)?5?,

C所以S△ADE:S△ABC?(3?2):?5?(3?2)??6:25,设S△ADE?6份,则S△ABC?25份,S△ADE?12平方厘

米,所以1份是2平方厘米,25份就是50平方厘米,△ABC的面积是50平方厘米.由此我们得到

一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【答案】50

【例 3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,AF?2CF,三角形AFE(图中阴影部分)的

面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米?

DCFBE

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB.三角形AFB面积是三角形CFB面积的2倍,而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2

倍,所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的(3?2)?6倍.因此,平行四边形的面积为8?6?48(平方厘米).

【答案】48

【例 4】 已知△DEF的面积为7平方厘米,BE?CE,AD?2BD,CF?3AF,求△ABC的面积.

AFDBEAC

【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答

S△BDE:S△ABC?(BD?BE):(BA?BC)?(1?1):(2?3)?1:6,【解析】

S△CEF:S△ABC?(CE?CF):(CB?CA)?(1?3):(2?4)?3:8S△ADF:S△ABC?(AD?AF):(AB?AC)?(2?1):(3?4)?1:6

设S△ABC?24份,则S△BDE?4份,S△ADF?4份,S△CEF?9份,S△DEF?24?4?4?9?7份,恰好是7平方厘米,所以S△ABC?24平方厘米

【答案】24

【例 5】 如图16-4,已知.AE=

三角形DEF的面积111AC,CD=BC,BF=AB,那么等于多少?

三角形ABC的面积 546

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