2011（20）（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
????解：(Ⅰ)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以MA=（-x,-1-y）,
????????????????????MB=(0,-3-y), AB=(x,-2).再由愿意得知（MA+MB）? AB=0,即
（-x,-4-2y）? (x,-2)=0. 所以曲线C的方程式为y=
12x-2. 4121x-2上一点，因为y'=x,所以l的斜42(Ⅱ)设P(x0,y0)为曲线C：y=率为
1x0 2因此直线l的方程为y?y0?则O点到l的距离d?1x0(x?x0)，即x0x?2y?2y0?x2?0。 22|2y0?x0|2x0?4.又y0?12x0?2，所以 412x0?4142d?2?(x0?4?)?2,
22x0?42x0?42当x0=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2.
2012
20．（本小题满分12分）
设抛物线C：x?2py(p?0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为
2圆心，FA为半径的圆F交l于两B、D点．
o（Ⅰ）若?BFD?90，?ABD的面积为42，求p的值及圆F的方程；
（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到n、m距离的比值．
【解析】（1）由对称性知：?BFD是等腰直角?，斜边BD?2p
点A到准线l的距离d?FA?FB?2p
S?ABD?42?1?BD?d?42?p?2 2 圆F的方程为x2?(y?1)2?8
2px0 （2）由对称性设A(x0,)(x0?0)，则F(0,)
22p22x0x0p2 点A,B关于点F对称得：B(?x0,p?)?p????x0?3p2
2p2p23pp?3p22x?p?x?3y?3p?0 )，直线m:y? 得：A(3p,2223p3ppx2x33 x?2py?y?,) ?y????x?p?切点P(362pp332 直线n:y?p33p3?(x?)?x?3y?p?0 63363p3p:?3。 26坐标原点到m,n距离的比值为
2013
理20)(本小题满分12分)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
解：由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3. 设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3x2y2?=1(x≠－2)． 的椭圆(左顶点除外)，其方程为43(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4. 若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23. 若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
|QP|R?，
|QM|r1
由l与圆M相切得解得k＝?|3k|1?k2=1，
2. 4x2y222当k＝时，将y?x?2代入?=1，
4344并整理得7x2＋8x－8＝0， 解得x1,2＝?4?62. 72所以|AB|＝1?k|x2?x1|?当k??18. 7182时，由图形的对称性可知|AB|＝.
7418综上，|AB|＝23或|AB|＝.
7 2014
x2y2320. (本小题满分12分) 已知点A（0，-2），椭圆E：2?2?1(a?b?0)的离心率为，
ab2F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为（I）求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程. 【解析】(Ⅰ) 设F?c,0???，由条件知
23，O为坐标原点. 3223c3，得c?3? 又?， ?c3a2x2所以a=2?，b?a?c?1 ,故E的方程?y2?1. ……….6分
4222（Ⅱ）依题意当l?x轴不合题意，故设直线l：y?kx?2，设P?x1,y1?,Q?x2,y2?
x2?y2?1，得?1?4k2?x2?16kx?12?0， 将y?kx?2代入48k?24k2?33当??16(4k?3)?0，即k?时，x1,2? 21?4k4224k2?1?4k2?3从而PQ?k?1x1?x2?? ?
1?4k22