概率论第二版第1、2章习题解答

第1章 随机事件与概率

习 题 1.2

2.一批产品由95件正品和5件次品组成,从中不放回抽取两次,每次取一件. 求:(1)第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率;(2)抽得正品和次品各一件的概率.

解 设A={第一次抽得正品且第二次抽得次品},B={抽得正品和次品各一件},则

11C95?C519P(A)?1??0.048, 1C100?C993961111C95?C5?C5?C9538P(B)???0.096. 11C100?C993963.从0,2,3,4,5,6这六个数中任取三个数,求取得的三个数字能组成三位数且为偶数的概率.

解 据题意,可分为“个位是0”与“个位不是0”两种情况,即所求事件的概率为

111A52?C3C4C45?4?3?4?417. p???3A66?5?4304.已知某城市中有55%的住户订日报,65%的住户订晚报,且至少订这两种报中一种的住户比同时订两种报的住户多一倍,求同时订两种报的住户占百分之几.

解 设A={住户订日报},B={住户订晚报},则P(A)?0.55,P(B)?0.65,

)?2P(A,B) 且 P(A?B)P(AB?)从而有 P(A)?P(B?2P(,A B

11P(AB)?[P(A)?P(B)]?(0.55?0.65)?0.4,

33即同时订两种报的住户占百分之四十.

5.从0~9十个数字中任取三个不同的数字,求:三个数字中不含0或5 的概率.

解 设A={不含数字0},B={不含数字5},则所求概率为P(A?B).

333C9C9C814P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?3?3?3?.

C10C10C10156.10把钥匙中有3把能打开一把锁,现任取两把,求能打开锁的概率. 解 设A={任取两把钥匙,能打开锁},利用对立事件,有

2C778P(A)?1?P(A)?1?2?1??.

C1015157.一盒中有10只蓝色球, 5只红色球,现一个个的全部取出.求第一个取出的是蓝色球,最后一个取出的也是蓝色球的概率.

解 设A={第一个取出的是蓝色球,最后一个取出的也是蓝色球},则

1131C10A13C910?9?13!3P(A)???. 15A1515!78.把12枚硬币任意投入三只盒中,求第一只盒子中没有硬币的概率. 解 设A={第一只盒子中没有硬币},则

212?2?P(A)?12???.

3?3?9.把7个编号的同类型的球投进4个编号的盒子中,每个球被投进任何一个盒子中都是等可能的.求第一个盒子恰有2个球的概率.

解 设A={第一个盒子中恰有2个球},则

2C7?35P(A)??0.311. 7412

10.从5副不同的手套中任意取4只手套,求其中至少有两只手套配成1副的概率.

解 设A={至少有两只手套配成1副 },则

1111C54?C2?C2?C2?C213. P(A)?1?P(A)?1??4C102112112C5C4CC2?2C513或 P(A)??. 4C102111.一副没有王牌的扑克牌共52张,不放回抽样,每次一张,连续抽取4张,计算下列事件的概率:(1)四张牌花色各异;(2)四张牌中只有两种花色;(3)四张牌中有三种花色.

解 设A={四张牌花色各异},B={四张牌中只有两种花色},C={四张牌中有三种花色},则

1111C13?C13?C13?C13P(A)??0.105 5, 4C52222113C4(C13?C13?C2?C13?C13)P(B)??0.299 6, 4C5231211C4?C3?C13?C13?C13P(C)??0.584 3. 4C5212.掷三枚均匀的骰子,已知它们出现的点数各不相同,求其中有一枚骰子的点数为4的概率.

解 设A={其中有一枚骰子的点数为4 },则

111C3CC43?5?41P(A)?15??. 11C6C5C46?5?4213.一间宿舍内住有8位同学,求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.

解 设A={至少有2个人的生日在同一个月份},则

8C12?8!P(A)?1?P(A)?1??0.954.

12814.四个人参加聚会,由于下雨他们各带一把雨伞.聚会结束时每人各取走一把雨伞,求他们都没拿到自己雨伞的概率.

解 设Ai={第i个人拿到自己的雨伞 },B={四个人都没有拿到自己的雨伞 },则

P(B)?P(A1A2A3A4)?P(A1?A2?A3?A4)?1?P(A1?A2?A?A4)

?1?[1?1113??]?. 2!3!4!815.有四个人等可能的被分配到六个房间中的任一间中.求:(1)四个人都分配到不同房间的概率;(2)有三个人分配到同一房间的概率.

解 设A={四个人分配到不同房间},B={四个人中有三个人分配到同一房间},则

4C6?4!5P(A)??,

6418311C4?C6?C55P(B)??. 465416.一袋中有n个黑球和2个白球,现从袋中随机取球,每次取一球,求第k次和第k+1次都取到到黑球的概率.

解 设A={第k次和第k+1次都取到到黑球},则

11Cn?Cnn(n?1)?1?n!. P(A)??(n?2)!(n?2)(n?1)17.n个人围一圆桌坐,求甲、乙两人相邻而坐的概率. 解 设A={甲、乙两人相邻而坐},则

P(A)?2(n?2)!2?.

(n?1)!(n?1)

18.6个人各带一把铁锹参加植树,休息时铁锹放在一起,休息后每人任取一把铁锹继续劳动,求至少一个人拿对自己带来的铁锹的概率.

解 设Ai={第i个人拿到自己的铁锹 },B={至少有一人拿对自己带来的铁锹 },则

P(B)?1?P(B)?1?P(A1A2A3A4A5A6)?P(A1?A2?A?A4?A5?A6)

?1?1111191??????0.632. 2!3!4!5!6!14419.两艘轮船都要停靠同一泊位,它们可能在一昼夜的任意时间到达,设两船停靠泊位的时间分别需要1小时与2小时,求一艘轮船停靠泊位时,另一艘轮船需要等待的概率.

解 设x,y分别为甲,乙两船到达码头的时间,设A={一艘轮船停靠泊位时,另一艘轮船需要等待}.故样本空间??{(x,y)|0≤x≤24,0≤y≤24}, A发生的等价条件为“x≤y≤x?1”或“y≤x≤y?2”, 令 D?{(x,y)(≤x≤y,?x?1)≤(y≤x?y2),x(?y,?) }则样本空间的面积 S??24?24?5, 7611且区域D的面积 SD?242??232??222?69.5,

22则 P(A)?SD?0.12.0 7 S?20.平面上画有间隔为d 的等距平行线,向平面任意投掷一枚长为l(l?d)的针,求针与平行线相交的概率.

解 以x表示从针的中点到最近一条平行线的距离,针与其所夹角为?,则

?d?样本空间???(x,?)0≤x≤,0≤?≤??,事件A={针与平行线相交}发生的等

2??

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