布，而进货量为区间 [10,30]中的某一个整数，商店每售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则从外部调剂供应，此时每售出一单位商品仅获利300元，求此商店经销这种商品每周进货量为多少，可使获利的期望不少于9 280元．
解 设Y为商店的周利润，a为该商品每周的进货量．
?500X?100(a?X)?600X?100a, 10≤X≤a;利润函数为Y??， ??500a?300(X?a)300X?200a, a≤X?30.???1 10≤x≤30;?,X的密度函数为f(x)??20．
?? 0, 其它.E(Y)??Y?f(x)dx??(600x?100a)???10??a3011dx??(300x?200a)?dx
a2020??7.5a2?350a?5250，
要使得E(Y)≥9280，即?7.5a2?350a?5250≥9280，有
26 3a2?140a?1612≤0， 解得 20≤a≤2．
3所以该商品每周的最小进货量为21单位．
?x?x22?e2a,13． 已知随机变量的X概率密度函数为f(x)??a2? 0,?x?0； x≤0.求随机变量Y?1X的数学期望．
解 E(Y)?? ?
????11?f(x)dx?2xa?????0e?x22a2dx?12a2?????e?x22a2dx
1(2??a)???2a21e2??a?x22a2dx?12?(2??a)?． 2a22a
习 题2.3
1． 某流水线上生产产品的不合格率为0.2，各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修． 设开机后第一次停机检修时已生产的产品个数为X，求X的方差．
解 设X表示停机时已生产的产品数，可能取值为1,2,?，其分布列为
P{X?k}?(1?p)k?1p?qk?1p,k?1,2,?，其中p?0.2,q?1?p．
E(X)??xkpk??k(1?p)k?1p?p?(1?2q?3q2??)
k?1k?1???q??11?p?(q?q?q??)??p???p??， ?2(1?q)p?1?q?23E(X)??k(1?p)22k?1?k?1p?p?kq2k?1?k?1?p?(k?1)kqk?1?k?1?p?kqk?1
k?1?其中p?(k?1)kqk?1??k?1?q2???22， ?p(q?q??)???p??p??32(1?q)p?1?q?23p?kqk?1?E(X)?k?11， p所以 E(X2)?212?p??2， p2pp2?p11?p1?0.2?2?2??20． p2pp0.22方差 D(X)?E(X2)?[E(X)]2?2． 已知X的分布列为P(X?k)?2ak,(k?1,2,?)，求常数a及E(X)． 解 由分布列的性质，有?2ak?1，即2k?1?a1?1，所以a?．
31?a
???2???aa??kk?? E(X)??k?2a?2??(k?1)a??a??2??????1?a?1?a?k?1k?1?k?1????k?2a3?． 2(1?a)24． 设10只同种电器元件中有2只废品，装配仪器时，从这批元件中任取1只，若取到废品，则扔掉重新取1只，求在取到正品之前，已取出的废品数X的概率分布、数学期望及方差．
解 设Ak={第k次取到正品}， 而取出的废品数X的可能取值为0，1，2．
P{X?0}?P(A1)?84?， 105288??， 109452181???， 109845P{X?1}?P(A1A2)?P(A1)P(A2A1)?P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)?即X的分布列为
X 0 1 2 481 545454812E(X)?0??1??2??，
5454594814E(X2)?02??12??22??，
54545154288D(X)?E(X2)?[E(X)]2??()2?．
159405P 5． 某设备由三大部件构成，设备运转时，各部件需调整的概率为0.1，0.2，0.3，若各部件的状态相互独立，求同时需调整的部件数X的期望与方差．
解 设Ak={第k部件需要调整}．由题设，
P(A1)?0.1,P(A2)?0.2,P(A3)?0.3．
又X的可能取值为0，1，2，3，且A1,A2,A3相互独立，则
P{X?0}?P(A1A2A3)?0.9?0.8?0.7?0.504， P{X?1}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?0.1?0.8?0.7?0.9?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.398，
P{X?2}?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?0.1?0.2?0.7?0.1?0.8?0.3?0.9?0.2?0.3?0.092，
P{X?3}?P(A1A2A3)?0.1?0.2?0.3?0.006． 即X的分布列为
X 0 1 2 3 0.504 0.398 0.092 0.006 3?0.，0
P ?0.3?98?20.?0?92则 E(X)?1E(X2)?12?0.398?22?0.092?32?0.006?0.82， D(X)?E(X2)?[E(X)]2?0.82?0.36?0.46．
16． 设X~f(x)?e?|x|,???x???. 求E(X),D(X)．
21?x解 被积函数xf(x)?xe是奇函数，且积分区间(??,??)关于原点对
2称，故
E(X)??????xf(x)dx??????1?xxedx?0， 2D(X)?E(X2)?[E(X)]2?E(X2) ??????x2??1?xedx??x2e?xdx?2．
02
? 0, x??1;?0.5?x?0.5x2, ?1≤x?0;?7． 已知随机变量X~F(x)??，求E(X) ,D(X)．20.5?x?0.5x, 0≤x?1;??? 1, x≥1.解 随机变量X的密度函数
?1?x,?f(x)?F?(x)??1?x,?0,?01?10?1≤x?0;0≤x?1;其它.
E(X)??x(1?x)dx??x(1?x)dx?0，
E(X2)??x2(1?x)dx??x2(1?x)dx??10011， 6D(X)?E(X2)?[E(X)]2?1． 68． 设随机变量X服从参数为0.7的0-1分布，求D(X2?2X)． 解 由于随机变量X服从参数为0.7的0-1分布，故
E(X)?0.7,E(X2)?0.7,E(X3)?0.7,E(X4)?0.7． D(X2?2X)?E(X2?2X)2?[E(X2?2X)]2
?E(X4?4X3?4X2)?[E(X2?2X)]2
?(0.7?4?0.7?4?0.7)?[0.7?2?0.7]2?0.21．
?3a2， x≥a；?9． 设随机变量X的密度函数为f(x)??x4， ?0， x?a.?2求E(X),D(X),D(X?a)．
3解 由密度函数的性质，有???a3a2dx?1，得出a?1． 4x