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零向量: 长度为0的向量；其向是任意的，记作0 ?ra?单位向量: 长度等于1的向量,叫做单位向量；一般写作e； 非零向量a的单位向量为? a平行向量：向相同或相反的非零向量，是平行向量；0与任一向量共线或平行 共线向量：向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量：长度相等且向相同的向量，是相等向量；两向量只有相等或不等，不能比大小 相反向量：长度相同且向相反的向量，是相反向量；0的相反向量为0 ? 向量a(a≠0)与b共线或平行的条件是存在唯一一个实数λ，使得 . 实数与向量相乘 Word 资料
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a?a?a?3a，那么a?a?a?？ ????aa已知向量，如求（1）?a?a ????a rrrrrn一般的，设为正整数，a为向量，我们用na表示n个a相加；用?na表示n个?a相加。又当m为正整数时，rnrnra表示与a同向且长度为a的向量. mmr5rrr已知非零向量a，求作a,?3a,?3a,并指出他们的长度和向。 2 1、ka表示实数k与向量a相乘的运算，下列表示运算是否正确： （1）ka表示为k×a或者k·a （ ） （2）ka表示ak（ ） （3）ka表示ka （ ） ????????????1?a2、已知非零向量，求作4a，-2a，-a，并指出他们的长度和向. 2 线性运算性质： 1、如果m,n是非零实数，a是非零向量，那么(m?n)a?ma?na，这个等式是实数与向量相乘对于实数加法的分配律. rrrrrrrrrr2、对于任意实数k和非零向量a、b，总有k(a?b)?ka?kb，这个等式是实数与向量相乘对于向量加法的分配律. 3、任意的非零实数m,n和非零向量a，总有m(na)?(mn)a，这是实数与向量相乘的结合律. 求值练习： rrrrrrr3rr3rrr?a?(a?b)(a?b?3c)?2(a?3b?c) 22 rr1r3r2rrrr1rr3(a?b?2c)?8(a?b)?6?c3(a?b)?5(b?x)求x 3443 Word 资料 C .
平面向量的分解 从物理学的角度上面的现象 是：将一个力分解为不同 向的两个力。 已知：平行四边形ABCD，点E,F在边AB上，AE=EF=FB.点P是边AD的中点，直线EG，FH都与AD平行，分别交DC于点G，H。直线PQPQPQ与AB平行，分别交EG，FH，BC与点O，M，Q，设AE=a,AP=b。分别求AC，OC，BG关于a，b的分解式。 DPGHCOEFMBQA在三角形ABC中，已知AB=a，BC=b，G是重心，请写出AG关于a，b的分解式。 1．在矩形ABCD中，AB?AGEBDC3，BC?1，则向量(AB?AD?AC)的长等于（） （A）2 （B）23（C）3 （D）4 2．下面给出四个命题： ① 对于实数m和向量a、b恒有：m(a?b)?ma?mb ② 对于实数m、n和向量a，恒有(m?n)a?ma?na Word 资料
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③ 若ma?mb(m?R)，则有a?b ④ 若ma?na(m,n?R,a?0)，则m?n 3．若a与b的向相反，且a?b，则a+b的向与a的向；此时a?ba?b． uuuruuuruuuruuur11CA?b，AB?c，4．已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BC?a，则下列各式：①EF?c?b；22uuuruuuruuuruuuruuur111②BE?a?b；③CF??a?b；④AD?BE?CF?0 ．其中正确的等式的个数为 A222uuuruuuruuur5.若AB?8,AC?5,则BC的取值围是 FD6.如图，D、E、F是?ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF?DB= uuuuruuurruuurruuuruuur7.在YABCD中，AB?a,AD?b,AN?3NC，M为BC的中点，则MN?_______。（用rra、b表示） 8.如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知AB=a,AD=b,试用a，b表示BC和MN． BEC 9.已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点． 1(AB?BC) 求证：EF?2 课堂小结：相关定理及常见题型分析与解答法 【课后作业】 复习本讲义，并熟练掌握相关性质及判定定理；重新总结本讲义中例题特点及掌握其分析与解答法。 Word 资料