最新人教版小学试题 专题强化练四 导数与函数的单调性、极值与最值
一、选择题
1．曲线y＝e＋2x在点(0，1)处的切线方程为( ) A．y＝x＋1 C．y＝3x＋1
xxB．y＝x－1 D．y＝－x＋1
0
解析：求导函数得y′＝e＋2，当x＝0时，y′＝e＋2＝3，所以曲线y＝e＋2x在点(0，1)处的切线方程为y＝3x＋1.
答案：C
2．(一题多解)(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x＋x＋2的图象大致为( )
4
2
x
解析：法一 易知函数y＝－x＋x＋2为偶函数， 所以只需研究y＝－x＋x＋2在x＞0时的图象与性质． 又y′＝－4x＋2x(x＞0)， 令y′＞0，得0＜x＜
4
23
4
2
4
2
22；令y′＜0，得x＞ 22
所以y＝－x＋x＋2在?0，因此选项D满足．
??2??2?
?上递增，在?，＋∞?上递减． 2??2?
1113
法二 令x＝0，则y＝2，排除A，B；令x＝，则y＝－＋＋2＝＋2＞2，排除C.
216416答案：D
12
3．(2018·安徽江淮十校联考)设函数f(x)＝x－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递
2减，则实数a的取值范围是( )
A．(1，2]
B．[4，＋∞)
部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 C．(－∞，2]
D．(0，3]
解析：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 9
且f′(x)＝x－. xx9
由f′(x)＝x－＜0，解得0＜x＜3.
12
因为f(x)＝x－9ln x在[a－1，a＋1]上单调递减，
2
??a－1＞0，所以?解得1＜a≤2.
?a＋1≤3，?
答案：A
4．(2018·安徽安庆二模)已知函数f(x)＝2ef′(e)ln x－(e是自然对数的底数)，则
e
xf(x)的极大值为( )
A．2e－1 C．1
1B．－ eD．2ln 2
2ef′（e）1
解析：由题意知f′(x)＝－，
xe2ef′（e）11
所以f′(e)＝－，f′(e)＝，
eee21
所以f′(x)＝－，令f′(x)＝0，得x＝2e，
xe
当x∈(0，2e)时，f′(x)＞0，当x∈(2e，＋∞)时，f′(x)＜0， 所以f(x)在(0，2e)上单调递增，在(2e，＋∞)上单调递减， 所以f(x)的极大值为f(2e)＝2ln(2e)－2＝ 2ln 2. 答案：D
5．(2018·郑州质检)若函数y＝f(x)存在n－1(n∈N)个极值点，则称y＝f(x)为n折函数，例如f(x)＝x为2折函数．已知函数f(x)＝(x＋1)e－x(x＋2)，则f(x)为( )
A．2折函数 C．4折函数
x2
*
x2
B．3折函数 D．5折函数
x解析：f′(x)＝(x＋2)e－(x＋2)(3x＋2)＝(x＋2)(e－3x－2)． 令f′(x)＝0，得x＝－2或e＝3x＋2. 易知x＝－2是f(x)的一个极值点．
又e＝3x＋2，结合函数图象，y＝e与y＝3x＋2有两个交点，
xxx部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 又e≠3(－2)＋2＝－4.
所以函数y＝f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数． 答案：C 二、填空题
6．(2018·天津卷)已知函数f(x)＝eln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．
1?xxx?1
解析：因为f′(x)＝e·＋eln x＝e?＋ln x?.
x－2
x?x?
所以f′(1)＝e(1＋ln 1)＝e. 答案：e
7．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点O(0，0)处的切线方程为________． 解析：由于y′＝
22，所以k＝y′|x＝0＝＝2， x＋10＋1
所以切线方程为y＝2x. 答案：y＝2x
8．(2017·山东卷改编)若函数ef(x)(e＝2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是________(填序号)．
①f(x)＝2③f(x)＝3
－x; x ②f(x)＝x； ④f(x)＝cos x.
xx2
－x; 解析：若f(x)具有性质M，则[ef(x)]′＝e[f(x)＋f′(x)]＞0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)＋f′(x)＞0在f(x)的定义域上恒成立．
对于①式，f(x)＋f′(x)＝2－2ln 2＝2(1－ln 2)＞0，符合题意． 经验证，②③④均不符合题意；只有①f(x)＝2具有M性质． 答案：① 三、解答题
9．已知函数f(x)＝ecos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
x－x－x－x－x?π?(2)求函数f(x)在区间?0，?上的最大值和最小值．
2??
解：(1)因为f(x)＝e·cos x－x，所以f(0)＝1，
xf′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，所以f′(0)＝0，
所以y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－1＝0·(x－0)，即y＝1. (2)f′(x)＝e(cos x－sin x)－1，令g(x)＝f′(x)，
x?π?x则g′(x)＝－2sin x·e≤0在?0，?上恒成立，且仅在x＝0处等号成立，
2??
部编本试题，欢迎下载！ 最新人教版小学试题 ?π?所以g(x)在?0，?上单调递减，
2??
所以g(x)≤g(0)＝0，所以f′(x)≤0且在x＝0处等号成立，
?π?所以f(x)在?0，?上单调递减， 2??
π?π?所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f??＝－. 2?2?10．已知f(x)＝ln x＋. (1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对任意x＞0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，求正数a的取值范围． 1ax－a解：(1)f′(x)＝－2＝2，x∈(0，＋∞)．
axxxx①当a≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)为增函数，无极值． ②当a＞0时，x∈(0，a)时，f′(x)＜0，f(x)在(0，a)为减函数；
x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)在(a，＋∞ )为增函数， f(x)在(0，＋∞)有极小值，无极大值， f(x)的极小值f(a)＝ln a＋1.
(2)若对任意x＞0，均有x(2ln a－ln x)≤a恒成立，即对任意x＞0，均有2ln a≤＋ln x恒成立，
由(1)可知f(x)的最小值为ln a＋1，问题转化为2ln a≤ln a＋1，即ln a≤1，故0＜a≤e，
故正数a的取值范围是(0，e]．
1x2
11．(2018·广州调研)已知函数f(x)＝(x－1)e－ax，其中参数a≤.
2(1)讨论f(x)单调性；
(2)当a＝－1时，函数g(x)＝f(x)－xe＋x的最大值为m，求不超过m的最大整数． 解：(1)f′(x)＝xe－2ax＝x(e－2a)． ①当a≤0时，e－2a＞0，
所以当x∈(－∞，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 1
②当0＜a＜时，0＜2a＜1.
2
xxxxaxx∈(－∞，ln 2a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； x∈(ln 2a，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
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