12章习题参考答案 12-1答案：1-5 DBADC 6-10 CDDAD 11-15 DDDAB 12-2 1、
12?RE 22、
q22?0Sqd
3、略 4、
8??0Rq8??0a23，方向为从O点指向缺口中心点
5、?
12-3真空中一长为L的均匀带电细直杆，总电量为q，试求在直杆延长线上到杆的一端距离为d的点P的电场强度。
[解] 建立如图所示的坐标系Ox，在距O点为x处取电荷元dq??dx?生的电场强度为
qdx，它在P点产LdE?dq4??0r2?1dq24??0?L?d?x??1qL24??0?L?d?x?dq??dxdx
则整个带电直导线在P点产生的电场强度为
E??L1qL04??0?L?d?x?2dx?14??0qd?L?d?Oxx故 E???qi
4??0d?L?d?12-4用绝缘细线弯成的半圆环，半径为R，其上均匀地带有正电荷Q，试求圆心处点O的电场强度。
[解] 建立坐标系如图，在半圆环上取微元dl ，dl?Rd?，则 dq?Qdl， ?RQdldq?R?dq在O点的场强 dE? 4??0R24??0R2从对称性分析，y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强
?dEdEx?dE?sin??Ex??dEx???Q4?2?0Rsin??dl?3Qsin?d? 224??0R0Qsin?Qd??
4?2?0R22?2?0R2?E?Q2?2?oR2?i
12-5一半径为R的无限长半圆柱面形薄筒，均匀带电，单位长度上的带电量为?，试求圆柱面轴线上一点的电场强度E。
[解] 建立坐标系如图，在无限长半圆柱面形薄筒上取dl的窄条，dl对应的无限长直线单位长度所带的电量为dq???Rd??d? ?R?Rd?y?dEx它在轴线O产生的场强的大小为
?d?dE??
2??0R2?2?0Rdq因对称性dEy成对抵消。
OdEyx?dEdEx?dE?sin????sin?d?
2?2?0RE??dEx??0???sin?d????2i ?E?2?2?0R??0R?2?0R12-6一半径为R的半球面，均匀地带有电荷，电荷面密度为?，求球心点O处的场强。
【解1】 将半球面分成无限多个圆环，取一圆环半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值dq??2?rdx。
dl在O点产生的场强(利用圆环轴线场强公式)
dEx?xdq4??0x?r?2232?
xr?O带电半球壳在O点的总场强
Ex??dEx??xdq4??0x?r?2232???x?2?rdx4??0x?r?2232?
由于 x?Rcos?，r?Rsin?，dl?Rd?
?所以 Ex?2?0?2sin??cos?d???08?0??2sin2?d?2????08?0????cos2????20???? ?4?0?方向沿x轴负向
【解2】 取图示微元，则有:
dq??ds
??dldr ??Rd?Rsin?d?
1dq dE?4??0R2
?R2sin?cos?d?d??sin?cos???d?d? 4??04??0R2
y 1dqdEz?dEcos??cos? 4??0R2
2??/2??1? Ez?d?sin?cos?d???04??02?024?00
zx??12-7 A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平面间的电场强度为E0，两平面外侧电场强度大小都是E03，方向如图。求两平面A、B上的电荷?A和?B。 [解]无限大平面产生的场强为E?? 2?0AB则 EA??A? EB?B 2?02?0E0/3E0E0/3??B?A??E0??2?02?0 ??E??B?A?0?3?2?02?024?0E0
3312-8 一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为
??Ar (r≤R) ??0 (r>R)
解得 ?A???0E0 ?B?A为常量。试求球内、外的场强分布。
[解] 在带电球体内外分别做与之同心的高斯球面。
应用高斯定理有E?4?r2?q?0
q为高斯球面内所包围的电量。设距球心r处厚度为dr的薄球壳所带电量为dq
dq???4?r2dr?4?Ar3dr
r≤R时 q??4?Ar3dr??Ar4
0rAr2Ar2r) 解得 E? (r≤R) (或E?4?04?0r>R时高斯面内包围的是带电体的总电量Q
Q??dq??4?Ar3dr??AR4
00RR应用高斯定理E?4?r2?Q?0
AR4AR4E?r) (r>R) (或E?4?0r24?0r2当A>0时，场强方向均径向向外；当A<0时，场强方向均指向球心。
12-9有一带电球壳，内、外半径分别为R1和R2，体电荷密度??Ar，在球心处有一点电荷Q，试证明：当A＝Q2?R12时，球壳区域内(R1 2??E?dS?4?rE?S2????q ?0rR1?q??d??sin?d??r2dr?Q?2?Ar2?R12?Q 00???E?2?Ar2?R12?Q4??0r2?? 当A?QA时 与r无关。因此得证。 E?2?02?R1212-10一球体内均匀分布着体电荷密度为?的正电荷，若保持电荷分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球体，球心为O?，两球心间距离OO??d，如图所示。求：(1)在球形空腔内，球心O?处的电场强度EO?。 (2)在球体内点P处的电场强度E。设O?、O、P三点在同一直径上，且OP=d。 [解] 在空腔内分别填上密度为??的电荷和密度为??的电荷。 (1) O?处的场强是密度为?的大球和??的小球所产生的场强的叠加。 大球产生场强： 在球体内做半径为d的同心高斯球面，应用高斯定理 4???d3?d3 E? E?4?d2?3?0?0而小球产生场强由于对称性为0 因此O?点的场强 EO???di 3?0(2)P点的场强也是两球场强的叠加。 同理大球产生的场强 E???di 3?043小球产生的场强 E??4?4d?2??r3?0?r3i E??12?0d2?r3??d??i 2??4d??3??d??r??i???合场强 EP????3?3?012?0d2?0??12-11一半径为R的带电球体，其体电荷密度分布为 qr ?? (r≤R) 4?R??0 (r>R) 试求：(1)带电球体的总电量；(2)球内外各点的场强；(3)球内外各点的电势。 [解] (1)因为电荷分布具有球对称性，把球体分成许多个薄球壳，其中任一球壳厚度为dr，体积为4?r2dr。在此球壳内电荷可看成均匀分布。此球壳所带电量为 4qdq???dV?4r3dr R则总电量为 R4q3Q?dq??dV?rdr?q 0R4(2)在球内作半径为r的高斯球面，按高斯定理有 ???E1?4?r?21?0?0rqrqr4qr224?rdr?E1? 444?R?0R4??0Rqr2得 E1? (r≤R) 4??0R4在球外作半径为r的高斯球面，按高斯定理有 E24?r2?q?0q 得 E2?4??0r2 (r>R) (3)球内电势，设无穷远处为零势能点 U1??E1?dr??E2dr??rRR?Rr?qr2qdr??R4??0r2dr 4??0R4