小学+初中+高中
13 数乘向量
时间：45分钟 满分：80分 班级________ 姓名________ 分数________ 一、选择题：(每小题5分，共5×6＝30分) 1．已知λ∈R，则下列命题正确的是( ) A．|λa|＝λ|a| B．|λa|＝|λ|a C．|λa|＝|λ||a| D．|λa|>0 答案：C 解析：当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，所以B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C. →2．如图，D是△ABC的边AB的中点，则向量CD＝( ) →1→→1→A．－BC＋BA B．－BC－BA 22→1→→1→C.BC－BA D.BC＋BA 22答案：A →→→→1→解析：CD＝CB＋BD＝－BC＋BA. 23．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线交→→DC于点F，若AB＝a，AD＝b，则AF＝( ) 11A.a＋b B.a＋b 3211C．a＋b D．a＋b 32答案：A 1→→→→1→1解析：由已知条件可知BE＝3DE，∴DF＝AB，∴AF＝AD＋DF＝AD＋AB＝a＋b. 333→→→4．如图，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设AB＝a，AC＝b，AF＝xa＋yb，则(x，y)为( ) ?11??22?A.?，? B.?，? ?22??33??11??21?C.?，? D.?，? ?33??32?答案：C →1→→→→→1→解析：∵AD＝DB，AE＝EC，∴F是△ABC的重心，则DF＝DC，∴AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝331→1111→1→→2→1→1AD＋(AC－AD)＝AD＋AC＝AB＋AC＝a＋b，∴x＝，y＝. 333333333→→→5．已知向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是( ) 小学+初中+高中
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A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 答案：A →→→→→→解析：因为BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b)＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2AB，所以AB与BD→→向量共线，又因为AB与BD有共点B，所以A、B、D三点共线． 6．已知向量a、b是两个非零向量，在下列四个条件中，能使a，b共线的条件是( ) ①2a－3b＝4e，且a＋2b＝－3e； ②存在相异实数λ，μ，使λ a＋μb＝0； ③x a＋y b＝0(其中实数x、y满足x＋y＝0)； →→④已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b. A．①②④ B．①③ C．②③④ D．③④ 答案：A 解析：关键是对共线向量的理解． 二、填空题：(每小题5分，共5×3＝15分) →→→7．已知点A、B、C三点共线，且点O是平面ABC内任意一点，若OA＝λOB＋μOC，则λ＋μ＝________. 答案：1 8．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________. 11答案： 22??x＋y－1＝0解析：由已知得??x－y＝0? 1，解得x＝y＝. 2→→→→→→9．已知点P，Q是△ABC所在平面上的两个定点，且满足PA＋PC＝0,2QA＋QB＋QC＝BC，→→若|PQ|＝λ|BC|，则正实数λ＝________. 1答案： 2→→→→→→→→解析：由条件PA＋PC＝0，知PA＝－PC＝CP，所以点P是边AC的中点．又2QA＋QB＋QC→→→→→→→→→→→＝BC，所以2QA＝BC－QB－QC＝BC＋CQ＋BQ＝2BQ，从而有QA＝BQ，故点Q是边AB的中点，1→1→所以PQ是△ABC的中位线，所以|PQ|＝|BC|，故λ＝。 22三、解答题：(共35分，11＋12＋12) →→→10．设两个非零向量e1与e2不共线，如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)． 求证：(1)A、B、D三点共线； (2)试确定实数k的值，使ke1＋e2和e1＋ke2共线． →→→→证明：(1)∵BD＝BC＋CD＝5e1＋5e2＝5AB， →→∴BD∥AB，又AB、BD有公共点B，∴A、B、D三点共线． ??k＝λ(2)∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，∴存在实数λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴?，?1＝kλ?2∴k＝1，∴k＝±1. 小学+初中+高中
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→1→→→2→11．如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，求实数m的值． 311→→→1→→→2→解：AP＝AN＋NP＝AC＋NP＝mAB＋AC， 411→→3→∴NP＝mAB－AC. 44→→→3→→→→1→又NB＝NC＋CB＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC， 443→→→1→→3→设NP＝λNB，则λAB－λAC＝mAB－AC，∴m＝λ＝. 44411→2→1→12．在△ABC中，点P是AB上一点，且CP＝CA＋CB，Q是BC的中点，AQ与CP的交33→→点为M，若CM＝tCP，则t等于多少？ →→→解析：∵A，M，Q三点共线，∴CM＝αCQ＋βCA(α＋β＝1)， →1→α→β→α→β→∴CP＝CM＝CQ＋CA＝CB＋CA. ttt2tt2t2t→2→1→又∵CP＝CA＋CB，∴α＝，β＝， 33332t2t3∴α＋β＝＋＝1，∴t＝. 334小学+初中+高中