量子力学测试题（3）
1、一维自由粒子的状态由波函数?动能平均值。 解：?(x)?A(sin2(x)?A(sin2kx?12coskx)描述，求粒子的动量平均值和
kx?12coskx)?A2(1?cos2kx?coskx)?A4(2?ei2kx?e?i2kx?eikx?e?ikx)
动量的可能值为
0,2?k,?2?k,?k,??k，括号内四项系数平方和等于8，所以相应几率为
?04/8，1/8，1/8，1/8，1/8；p动能平均值
T?(2?k)2?2
?5?k8?22?14?(?k)2?2?14
2、粒子作一维运动，H （1）证明：??p22??V(x)，定态波函数为|n?，即H|n??En|n?。
n|p|m??anm?n|x|m?，并求系数anm；
2 （2）由此推导求和公式：?n(En?Em)?n|x|m?2??22??n|p2|m?；
（3）证明：?n(En?Em)?n|x|m?2??22?。
?i?解：（1）[x,H]?[x,p2??p?/2?]?i???p?2?2?p??i???? p?[x,H]
?n|p|m???i??n|[x,H]|m???i??n|xH?Hx|m?
??i?
(Em?En)?n|x|m? 所以 anm （2）因为
所以
???i?(En?Em)
i??n|p|m?(En?Em)?n|x|m????
?n(En?Em)?n|x|m?????222???(Em?En)?m|x|n?(En?Em)?n|x|m?n?i?????????n?m|p|n??n|p|m???22
?m|p2?|m? 1
（3）略 见<量子辅导>典型例题
2223、限于l?1(L?2?)，求L,Lx的共同本征函数，表示成球谐函数Ylm(?,?)的线性迭加。
解：方法一
l?1时，Lz的本征值为
0及??，由x,y,z的轮换对称性可知Lx（及Ly）的本征
值也为0及??，相应的L2,Lx的共同本征函数记为?11,?10,?1?1，它们可以利用L2,Lz的共同本征函数Y11,Y10,Y1?1的具体函数形式通过x,y,z的轮换求出。 当x?y,y?z,z?x时，则Lx?Ly,Ly?Lz,Lz?Lx，L2不变。
已知l?1时，Lz的本征函数
?3?Y11??sin?ei???3x?iy?8?8?r ?33z?Y10?cos??
?4?4?r?x?iy?Y3?i??31?1?sin?e?8?8?r?Y3y?iz?11????i??1Y111?Y1Y??8?r?2210?21?1??经过x,y,z的轮换 ?3x?Y10??1??Y
?4?r211?Y1?1??3y?i??1Y1?Y?iz1?1?11?Y?1Y??8?r?221021?1??适当选择因子后得
?1??11?1Y11?Y1Y??)?2210?21?1(lx ?1??10?(Y11?Y1?1)(lx?0)
?2?11??1?1?Y11?Y10?1(lx????22Y1?1)2 方法二
? 在?100??Lz表象中 Lz???000? 其本征函数为Ylm(l?1,m?0,?1)
??00?1???01 利用 ????L????Lx?iLy L?Ylm?l(l?1)?m(m?1)?Ylm?1?Lx??102??01由本征方程Lx????得
2
0??1?
0??lx??,?11?1??1???2?2???1? lx?0,?10??1??1??0?2????1? lx??1,?1?1?1??1????2?2???1?
?表示成球谐函数Ylm1???Y11?112???10?(?,?)的线性迭加??1??1?1?Y11?2??12?12Y10?12Y1?1(lx??)(lx?0)(lx???)(Y11?Y1?1)12Y10?12Y1?1
4、设在表象H0中，H0与微扰H?的矩阵表示为
?1??E0?0?0?0100??0?2???2?? H???1?3?1233??3?1?? H0
其中E0与2E0分别是基态与激发态的零级近似能量，?是微小量。 （1）求基态的一级近似能量与零级近似波函数；
（2）求激发态的二级近似能量与一级近似波函数。 解: （1）基态能量E0是二度简并的，相应态矢为
?1?????0??0????0?????1??0??? ?1 ?2
令零级近似波函数为 ?展开系数c1,c2满足
?H11??E ???H21?(1)(0)?c1?1?c2?2
?H12??EH22(1)(1)??c1????c??2???0???2??E ????(1)?2??E(1)??c1????c??2???0??
由
2??E?2??E(1)??0 得
12121212 E(1)??c1?c2??
E(1)?3?c1?c2?
基态的一级近似能量与零级近似波函数为
3