微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第三章习题详解

第三章

习题3-1

1. 设s=

12dsgt,求2dtdsdtt?2t?2.

解:

12gt?g?4s(t)?s(2)2?lim?lim2 t?2t?2t?2t?21 ?limt?21g(t?2)?2g 22. 设f(x)=

1,求f?(x0) (x0≠0). x1?1?1解:f?(x)?()??(x)??2

xx f?(x0)??21(x0?0) 2x03.(1)求曲线y?x上点(2,4)处的切线方程和法线方程; (2)求过点(3,8)且与曲线y?x相切的直线方程; (3)求y?e上点(2,e)处的切线方程和法线方程; (4)求过点(2,0)且与y?e相切的直线方程。

解:略。

4. 下列各题中均假定f′(x0)存在,按照导数定义观察下列极限,指出A表示什么:

(1) lim?x?0xx22f(x0??x)?f(x0)=A;

?xx?x0 (2) f(x0)=0, limf(x)=A; x0?x(3) limf(x0?h)?f(x0?h)=A.

h?0hf(x0?x)?f(x0)f[x0?(?x)]?f(x0)??lim??f?(x0) 解:(1)limx?0?x?0x?x ?A??f?(x0) (2)

x?x0limf(x)?f(x0)f(x)??lim??f?(x0)

x?x0x0?xx?x0

?A??f?(x0)

f(x0?h)?f(x0?h)

h?0h[f(x0?h)?f(x0)]?[f(x0?h)?f(x0)] ?lim

h?0hf(x0?h)?f(x0)f[x0?(?h)]?f(x0) ?lim ?limh?0?h?0h?h (3)

lim ?f?(x0)?f?(x0)?2f?(x0) ?A?2f?(x0) 5. 求下列函数的导数: (1) y=x;(2) y=

13x2;(3) y=12x23x25.

x 解:(1)

y?x?x

121?11 ?y??(x)??x2? 22x (2)

y?x?23

235?1?2?222 ?y??(x)???x3??x3??

35333x?23?5216 (3)

y?xxx162?x

1?51 ?y??(x)??x6?

6566x6. 讨论函数y=3x2在x=0点处的连续性和可导性. 解:

lim3x?0?f(0)

x?03f(x)?f(0)x?01 lim?lim?lim??

32x?0x?0x?0x?0xx ?函数y?3x在x?0点处连续但不可导。

7. 试由倒数定义,证明:若f(x)为可导的奇(偶)函数,则f′(x)是偶(奇)函数。 证:

f(x)为偶函数

?f(?x)?f(x)

f(x)?f(0)f(?x)?f(0) ?limx?0x?0x?0x?0f(?x)?f(0) ??lim??f?(0),即2f?(0)?0

x?0?x?0 ?f?(0)?lim 故f?(0)?0

8. 求下列函数在x0处的左、右导数,从而证明函数在x0处不可导:

(1) y=???sinx,x?0,?x,x?1,; (2) y=x0?1. x?0?203??x,x?0,?x,x?1,3f(x)?f(0)x?02f??(0)?lim?lim?limx?0 ??x?0?x?0x?0x?0x解:(1)

f??(0)?lim?x?0f(x)?f(0)sinx?0?lim?1 x?0?x?0x ?f??(0)?f??(0) ?函数在x?0处不可导。 (2)

2f(x)?f(1)x?1f??(1)?lim?lim?lim(x?1)?2 ??x?1?x?1x?1x?1x?1 f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)x?111 ?lim?lim?x?1?x?1x?1?x?12x?1 ?f??(1)?f??(1)

?函数在x?1处不可导。

9. 设函数

?x2,x?1,f(x)= ?

?ax?b,x?1.为了使函数f(x)在x=1点处连续且可导,a,b应取什么值?

解:为使f(x)在x?1处连续,必须f(1?0)?f(1?0)?f(1), f(1?0)?limf(x)?lim(ax?b)?a?b ??x?1x?1f(x)?limx?1,f(1)?1 f(1?0)?lim??x?1x?12 ?a?b?1?b?1?a (1) 为了使f(x)在x?1处可导,必须f??(1)?f??(1) f??(1)?lim?x?1f(x)?f(1)ax?b?1ax?a?lim?lim?a x?1?x?1?x?1x?1x?1

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