2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编:二次函数解答题(word版)

2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编:二次函数解答题

1.(2019? 湖北黄石? 10 分)如图,已知抛物线 y=x+bx+c 经过点 A(﹣1,0)、B(5,0).

(1) 求抛物线的解析式,并写出顶点 M 的坐标;

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(2) 若点 C 在抛物线上,且点 C 的横坐标为 8,求四边形 AMBC 的面积;

(3) 定点 D(0,m)在 y 轴上,若将抛物线的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 3

个单位得到一条新的抛物线,点 P 在新的抛物线上运动,求定点 D 与动点 P 之间距离的最小值 d(用含 m 的代数式表示)

【分析】(1)函数的表达式为:y=(x+1)(x﹣5),即可求解; (2)S 四边形 AMBC=AB(yC﹣yD),即可求解; (3)抛物线的表达式为:y= x,即可求解.

【解答】解:(1)函数的表达式为:y=(x+1)(x﹣5)=(x﹣4x﹣5)=x﹣x ﹣ ,

点 M 坐标为(2,﹣3);

(2)当 x=8 时,y=(x+1)(x﹣5)=9,即点 C(8,9), S 四边形 AMBC=AB(yC﹣yD)= ×6×(9+3)=36;

(3)y=(x+1)(x﹣5)=(x﹣4x﹣5)=(x﹣2)﹣3,

抛物线的图象向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位得到一条新的抛物线, 则新抛物线表达式为:y= x, 则定点 D 与动点 P 之间距离 PD=∵

,PD 有最小值,当 x=3m﹣时,

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= ,

PD 最小值 d=

【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到图形平移、面积的计算等知识点,难度不大.

2.(2019? 贵州毕节 12 分)某山区不仅有美丽风光,也有许多令人喜爱的土特产,为实现脱贫奔小康,某村织村民加工包装土特产销售给游客,以增加村民收入.已知某种士特产

每袋成本 10 元.试销阶段每袋的销售价 x(元)与该士特产的日销售量 y(袋)之间的关系如表:

x(元) y(袋) 15 25 20 20 30 10 … …

若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数,试求:

(1) 日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式;

(2) 假设后续销售情况与试销阶段效果相同,要使这种土特产每日销售的利润最大, 每

袋的销售价应定为多少元?每日销售的最大利润是多少元? 【分析】(1)根据表格中的数据,利用待定系数法,求出日销售量 y(袋)与销售价 x(元) 的函数关系式即可

(2)利用每件利润×总销量=总利润,进而求出二次函数最值即可.

【解答】解:

(1) 依题意,根据表格的数据,设日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为 y

=kx+b 得

,解得

故日销售量 y(袋)与销售价 x(元)的函数关系式为:y=﹣x+40

(2) 依题意,设利润为 w 元,得w=

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(x﹣10)(﹣x+40)=﹣x+50x+400整理得 w=﹣(x﹣25)+225 ∵﹣1<0

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∴当 x=2 时,w 取得最大值,最大值为 225

故要使这种土特产每日销售的利润最大,每袋的销售价应定为 25 元,每日销售的最大利

润是 225 元.

【点评】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用,根据每天的利润=一件的利润× 销售件数,建立函数关系式,此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.

3 (2019?山东省滨州市 ?14 分)如图①,抛物线 y=﹣x+ x+4 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,C,将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°,所得直线与 x 轴交于点 D.

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(1) 求直线 AD 的函数解析式;

(2) 如图②,若点 P 是直线 AD 上方抛物线上的一个动点

①当点 P 到直线 AD 的距离最大时,求点 P 的坐标和最大距离; ②当点 P 到直线 AD 的距离为

时,求 sin∠PAD 的值.

【考点】二次函数

【分析】(1)根据抛物线 y=﹣x+ x+4 与 y 轴交于点 A,与 x 轴交于点 B,C,可以 求得点 A.B.C 的坐标,再根据将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°,所得直线与 x 轴交于点 D,可以求得点 D 的坐标.从而可以求得直线 AD 的函数解析式;

(2)①根据题意,作出合适的辅助线,然后根据二次函数的性质即可求得点 P 到直线 AD 的距离最大值,进而可以得到点 P 的坐标;

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②根据①中关系式和题意,可以求得点 P 对应的坐标,从而可以求得 sin∠PAD 的值. 【解答】解:(1)当 x=0 时,y=4,则点 A 的坐标为(0,4), 当 y=0 时,0=﹣x+x+4,解得,x1=﹣4,x2=8,则点 B 的坐标为(﹣4,0),点 C 的坐标为(8,0),

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∴OA=OB=4,

∴∠OBA=∠OAB=45°,

∵将直线 AB 绕点 A 逆时针旋转 90°得到直线 AD,

∴∠BAD=90°,

∴OAD=45°,

∴∠ODA=45°,

∴OA=OD,

∴点 D 的坐标为(4,0),

设直线 AD 的函数解析式为 y=kx+b,

,得

即直线 AD 的函数解析式为 y=﹣x+4;

(2)作 PN⊥x 轴交直线 AD 于点 N,如右图①所示,

设点 P 的坐标为(t,﹣t+t+4),则点 N 的坐标为(t,﹣t+4), ∴PN=(﹣ t+ t+4)﹣(﹣t+4)=﹣ t+ t, ∴PN⊥x 轴,

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∴PN∥y 轴,

∴∠OAD=∠PNH=45°,

作 PH⊥AD 于点 H,则∠PHN=90°, ∴PH=

(﹣ t+ t)=

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t=﹣ (t﹣6)+

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∴当 t=6 时,PH 取得最大值,此时点 P 的坐标为(6,),

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