昆明理工大学2018级硕士研究生试卷(A卷)
科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：
题号 分数 一 二 三 四 五 六 总分 考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。
一、 填空题（每空2分，共40分）
1．设x?3.141是圆周率?=3.1415926*的近似值，则x有 位有效数字，x的相
**对误差限为 。（取四位非零小数） 2．设f(x)?5x?3x，则
6421,?,26]? 。 f[20,0),(2,0)和(1,3)的二次拉格朗日插值函数为L2(x)= ， 并计算3. 过点(0,余项R2(3)? 。 4．设f(x)?x?x在
32??1,1?上的最佳二次一致逼近多项式为 ，
f(x)?x3在??1,1?上关于权?(x)?1的最佳二次平方逼近多项式为 。
5．高斯求积公式
?1-1f(x)dx?A0f(x0)?A1f(x1)的系数A0? ，A1? ，节点x0? ，x1? 。
6．方程组
?aAx?b，A??11?a21a12?(k?1)?Bx(k)?f，写出雅可比迭代和?，建立迭代公式xa22?高斯-赛德尔迭代的迭代矩阵，BJ? ，BG?S? 。
??7．正交矩阵A?????8．设A12121?2??，其2-范数下的条件数Cond(A)2? 。 1???2??0.60.5? ???，计算矩阵A的范数，||A||1= ， ||A||2= 。
?0.10.3?第 1 页 共 2 页
9． 求方程x?1?sinx的根的牛顿迭代格式是 ， 收敛阶是 。
?126???10．对矩阵A??2515?作LU分解，其L=_______ ________，U=______ ___________。
?61546???二、计算题（每题10分，共50分）
1. 求一个次数不高于3次的多项式P(x), 使它满足: p(0)?0,p(0)?1,p(1)?1，
'p'(1)?2, 并写出其余项表达式。
2. 若用复合梯形公式计算积分
?10e?xdx，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过
1?10?5? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度，区间[0, 1]应该分成多少等份? 根据下2表数据，用复合梯形求积公式和复合辛普森求积公式计算该积分的近似值(保留7位小数)。
x e?x 0 0.25 0.5 0.75 0.4724 1 0.3679 1.0000 0.7788 0.6065 ?12-2??1?????1?，b??1?，3. 线性方程组Ax?b，其中A??11（1）建立Jacobi迭代法和
?1??221?????Gauss-Seidel迭代法的分量形式；（2）考察Jacobi迭代和Gausse-Seidel迭代法收敛性。 4. 已知如下实验数据(xi,yi),i?0,1,?,4, 用最小二乘法拟合形如计算均方误差。
y?a?bx的经验公式，并
xi yi 361 19 625 32.3 961 49 1444 73.3 1936 97.8 5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题计算到x?0.2（保留到小数点后4位）。
dy取步长h?0.1, ?x2?x?y,y(0)?0，
dx三、证明题（共10分）
?dy??f(x,y)1. 已知初值问题?dx，将区间[a,b]分成n等份，xn?x0?nh。
??y(x0)?y0（1）． 写出后退的欧拉法公式；
h2(2)y(xn)。 （2）． 证明初值问题的后退欧拉法的局部截断误差的首项为?2
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