n 0 n1 n－1r－1n－r＋1故C＝CC＋ CC＋…＋ CC＋…＋
2n－1n－1nn－1n n－1n
n－11CC， n－1n余下同方法一. …………………………………………………………………………………………10分
012n方法三：由二项式定理，得(1＋x)n＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cxn
nnnn③．
rr－1nn－1
两边求导，得n(1＋x)＝C＋2Cx＋…rCx ＋…＋nCx
nnnnn－1
12
④．
③×④， 得n(1＋x)
－1
2n－1
0122nn12rr＝(C＋Cx＋Cx＋…＋Cx)( C＋2Cx＋…rCxnnnnnnn ＋…＋nCxn－1) ⑤．
左边xn的系数为n C．
2n－1
nnn 1n2n－1rn－r＋1
右边x的系数为C C＋2 CC＋…＋rC C＋…＋
nnnn nn
n1nCC
nnn1021rr－1nn－1＝CC＋2CC＋…＋r CC＋…＋n CC
nnnnnn nn 0112r－1rn－1＝CC＋2 CC＋…＋r CC＋…＋n C
nnnnn nn nC ． nn 0112r－1r由⑤恒成立，可得n C＝CC＋2 CC＋…＋r CC＋…
2n－1nnnnn nn－1n＋n CC．
n n故
f(n)＝C
n 2n－1
成
立． ……………………………………………………………………………………10分