13. 在一个平面上画一个圆,然后一条一条地画n条与圆相交的直线.当r是
大于1的奇数时,第r条直线只与前r－1条直线之一在圆内相交.当r是偶数时,第r条直线与前r－1条直线都在圆内相交.如果无3条直线在圆内共点,这n条直线把圆分割成多少个不重叠的部分？
解：当r是奇数时，它只与原来r－1条直线之一相交，因此多了两个部分； 当r是偶数时，它与原来的r－1条都相交，因此多了r个交点； 故有
f(n)=f(n-1)+2 n为奇数； f(n)=f(n-1)+n n为偶数；
14. 从1到n的自然数中选取k个不同且不相邻的数,设此选取的方案数位
f(n,k).
1) 求f(n,k)满足的递推关系； 2) 用归纳法求f(n,k)；
3) 若设1与n算是相邻的数,并在此假定下从1到n的自然数中选取k
个不同且不相邻的数的方案数位g(n,k),试利用f(n,k)求g(n,k).
解：1）有两类：选n为f(n-2,k-1)；不选n为f(n-1,k).所以 f(n,k)=f(n-2,k-1)+f(n-1,k). 2)f(n,k)=C(n-k+1,k).
3)f(n,k)=C(n-k+1,k-1)*n/k.
15. 从1到n的自然数中选取两两之差均大于r的k个数
1) 求它所满足的递推关系；
?n?rk?r?2) 证明fr(n,k)???,n?r?k(r?1)
k??解：可将本题转换为构造相应的0－1串的问题。将这样的n位0－1串与1
到n的正整数对位，与1相应的整数选取，与0相应的不取。一个0－1串对应一个选取方案。这也对应将相同的球放入不同的盒子的方案数。
k10...010...01......10...01
rrr?k?1?n?k?r(k?1)?1??n?r(k?1)?所以fr(n,k)??。 ????n?k?r(k?1)k????11??Fn?116. 试证：??10???F???nnFn?
?Fn?1?证明：可用数学归纳法证明
11?，右边=?11?，成立。 1) 当n=1时，左边= ??????10??10?
11??Fk?12) 假设n=k时，等式成立，则有?????F10???kkFk??. Fk?1?n=k+1时，有
21
?Fk?1Fk??11??Fk?1?Fk?11??????10???F?F??k?1??10??k?Fk?Fk?1由1)、2）可得等式成立。
nk?1Fk??Fk?2???Fk??Fk?1Fk?1?? Fk?n?1?n?k??n?k?17. 设n?0,an???,bn???,用Fibonacci数来表示an和bn. ??2k?1k?0?k?0?2k??解：
?n?k?1?n?1??n?k??n?k??n?n?k??2n?1?n?n?k?1? an?1????????????????????????2k?k?0??2k??2k?1??k?0?2k??2n?2?k?0?2k?1?k?0?n?1
?an?bn?1
同理可得bn?1?an?bn。
由此可得两个序列的生成函数为A(x)?1?xx?3x?12B(x)?11?xx,B(x)?x1?xA(x)。
联立解可得A(x)?,B(x)?x?3x?12。
由Fibonacci数定义可知，f(n)=f(n-1)+f(n-2)，其生成函数为
F(x)?11?x?x?2。
?n令P(x)??f(2n)x,Q(x)??f(2n?1)x，可得
nn?0n?1P(x)?1?xx2?3x?1,Q(x)?xx2?3x?1
所以an＝f(2n), bn＝f(2n-1).
18. 某人有n元钱,他每天买一次物品,每次买物品的品种很单调,或者买一
元的甲物品,或者买二元钱的乙物品,或者买二元