学科教师辅导讲义
授课主题 数列-1-数列的概念及简单表示法 1. 理解并掌握数列的基本概念； 教学目的 2. 理解并掌握数列的通项公式与递推公式，学会求通项公式的几种方法，能够灵活应用。 重、难点 求通项公式的几种方法 教学内容 [提出问题] 观察下列示例，回答后面问题． 11111(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，，，，，. 23456(2)－2的1次幂，2次幂，3次幂、4次幂依次是－2,4，－8,16. (3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，…. (4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如11111果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次分为：，，，，，…. 2481632问题：观察上面4个例子，它们都涉及到了一些数，这些数的呈现有什么特点？ [导入新知] 数列的概念 (1)定义：按照一定顺序排列着的一列数称为数列． (2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列{an}的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，an称为第n项． (3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an…简记为{an}． [化解疑难] 1．数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”．也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置． 2．项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次． 1 / 12
3．{an}与an是不同概念：{an}表示数列a1，a2，a3，…，an，…；而an表示数列{an}中的第n项. 【一】数列的分类 [提出问题] 问题：观察上面4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？ [导入新知] 分类标准 按项的个数 名称 有穷数列 无穷数列 递增数列 按项的变化趋势 递减数列 常数列 摆动数列 [化解疑难] 在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出．例如，数列1,2,3,4，…，100.表示有穷数列．但是如果把数列写成1,2,3,4，…，100，…就表示无穷数列. 【二】数列的通项公式 [提出问题] 问题：仍然观察上面4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？ [导入新知] 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式． [化解疑难] 1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集N或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． 2．同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． 【考点一】数列的概念及分类 2 / 12
*含义 项数有限的数列 项数无限的数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 各项相等的数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 [例1] 已知下列数列： (1)0,0,0,0,0,0； (2)0，－1,2，－3,4，－5，…； 12n－12,3(3)0，，，…，，…； (4)1,0.2,0.20.2，…； 23n(5)0，－1,0，…，cosπ，…. 2其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________(填序号)． [类题通法] 判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需考察数列是有限项还是无限项．若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列．而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足an
nB．①② D．①②③④ 1925(1)，2，，8，，…； (2)9,99,999,9 999，…； 222 2－13－24－35－41111(3)，，，，…； (4)－，，－，，…； 13571×22×33×44×5 [类题通法] 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系． [变式训练] 11n－21.在数列－1,0，，，…，，…中，0.08是它的( ) 98n2A．第100项 C．第10项 2．写出下列数列的一个通项公式： (1)0,3,8,15,24，…； (2)1，－3,5，－7,9，…； 1234(3)1，2，3，4，…； (4)1,11,111,1 111，…. 2345 【考点三】通项公式的简单应用 [例3] 已知数列{an}的通项公式是an＝B.第12项 D．第8项 2222n2n2＋1. 4 / 12
(1)写出该数列的第4项和第7项； 91(2)试判断和是否是该数列中的项？若是，求出它是第几项；若不是，说明理由． 1010 [类题通法] 1．数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项． 2．判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解．若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项． [变式训练] an1.若数列{an}的通项满足＝n－2，那么15是这个数列的第________项． n 2．已知数列{an}的通项公式为an＝q，且a4－a2＝72. (1)求实数q的值； (2)判断－81是否为此数列中的项． 【易错警示】 2.牢记数列中n∈N* [典例] 已知数列{an}的通项公式为an＝n－5n＋4.求n为何值时，an有最小值？并求出最小值． [成功破障] 1.求数列{－2n＋9n＋3}中的最大项． 5 / 12
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