2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学习目标
1.通过本节课的学习,学生掌握向量加法的概念,能熟练运用向量加法的平行四边形法则和三角形法则作出两个或多个向量的和.掌握向量加法的交换律和结合律,并能在解决具体问题中熟练的运用这些知识.
2.学生经历由悟空师兄弟三人搬石头的小故事到向量加法问题的提出的过程,感受到数学问题来自于客观现实,感受到学好数学有利于解决实际问题.学生经历用三角形法则与平行四边形法则进行向量求和的作图过程,不仅深刻理解了物理中的力、速度的合成分解的作图方法体现出的数学的实用性,还感受到了数学和物理的合作,从而感悟出一种合作精神,迁移到同学们的学习和生活中,便能体会出团结协作尤为重要. 合作学习
一、设计问题,创设情境
情境——唐僧师徒四人西天取经路上,遇到一块大石头阻住去路,师兄弟三人在合作搬走石头的过程中就“人多力量大”这句话发生争论,并提出三个搬运方案让学生选择,根据已有生活经验作答.
问题1:悟空师兄弟每人若都以1000N的力推石头,则石头受到的合力是3000N吗?
问题2:唐僧当年取经路线是先绕到新疆,再往天竺,若悟空单独前往,可以直接飞往西天,两种走法的路程相同吗?位移呢?
问题3:向量加法与数量加法是否相同,向量加法还需要注意什么? 二、学生探索,尝试解决 问题1:
问题2:
问题3:
三、信息交流,揭示规律
问题4:某同学从家中(A处)出发,向正南方向行走500m到达超市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60°方向行走200m到达学校(C处)(如图).此同学这两次位移的总效果是什么?
1.三角形法则
问题5:如图所示, ABCD为平行四边形,由于错误!未找到引用源。,根据三角形法则得错误!未找到引用源。= =错误!未找到引用源。.
2.平行四边形法则 .
1
3.平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法具有以下的性质: (1)a+0= ; (2) ;(交换律)
(3)(a+b)+c= .(结合律)
四、运用规律,解决问题
【例1】一艘船以12km/h的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流速度为5km/h,求该船的实际航行速度.
【例2】用两条同样的绳子挂一个物体(如图).设物体的重力为k,两条绳子与垂线的夹角为θ,求物体受到沿两条绳子的方向的拉力F1与F2的大小.
五、变式演练,深化提高
练习1:小船向北偏东45°方向行驶了3km,又向北偏西45°方向行驶了3km,求小船的位移.
练习2:两向量a,b的模分别为3和5,求向量a+b的模的范围.
六、反思小结,观点提炼
本节课我们学习了哪些知识?用到了什么思想方法?你还有其他什么收获?
布置作业 课本P91习题2.2 A组第1,2,3题.
参考答案
2
二、学生探索,尝试解决
问题1:石头受到的合力不一定是3000N. 问题2:两种走法路程不同,位移相同.
问题3:向量的加法是矢量的加法,满足平行四边形法则,而数量的加法仅仅是实数的四则运算而已,是标量的计算,只与大小有关.
三、信息交流,揭示规律
问题4:两次位移总效果是从家(A处)到达了学校(C处)
1.三角形法则——位移错误!未找到引用源。叫做位移错误!未找到引用源。与位移错误!未找到引用源。的和,记作错误!未找到引用源。.
一般地,设向量a与向量b不共线,在平面上任取一点A(如图),依次作错误!未找到引用源。=a,错误!未找到引用源。=b,则向量错误!未找到引用源。叫做向量a与向量b的和,记作a+b ,即a+b =错误!未找到引用源。.
问题5:错误!未找到引用源。.
2.平行四边形法则,即错误!未找到引用源。
3.(1)0+a=a;a+(-a)=0 (2)a+b=b+a (3)a+(b+c) 四、运用规律,解决问题
【例1】解:如图所示,错误!未找到引用源。表示船速,错误!未找到引用源。为水流速度,由向量加法的平行四边形法则,错误!未找到引用源。是船的实际航行速度,显然
错误!未找到引用源。=13.
又tan∠CAD=错误!未找到引用源。, 利用计算器求得∠CAD≈67°23'.
即船的实际航行速度大小是13km/h,其方向与河岸线(水流方向)的夹角约67°23'. 【例2】解:利用平行四边形法则,可以得到
错误!未找到引用源。=2错误!未找到引用源。cosθ=错误!未找到引用源。, 所以错误!未找到引用源。. 五、变式演练,深化提高
练习1:位移大小为3错误!未找到引用源。km,方向为正北方向. 练习2:[2,8].
六、反思小结,观点提炼
本节课主要学习了向量加法的运算律和向量加法运算法则.
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