第一章 随机事件与概率
教学要求
通过本章的教学，使学生达到以下几个方面的基本要求：
1、理解随机现象、样本空间和随机事件的概念，会用随机变量表示随机事件，掌握事件间的关系与运算；
2、理解概率的公理化定义及确定概率的三种方法(频率方法、古典方法与几何方法)，掌握概率的基本性质；
3、理解条件概率与独立性的概念，掌握与条件概率有关的三个基本公式(乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式)；
4、掌握概率的计算的基本方法：
(1) 概率的直接计算：古典概率与几何概率；
(2) 概率的间接推算：利用概率的基本性质、基本公式和事件的独立性，由较简单事件的概率推算较复杂事件的概率.
重点与难点
本章的重点是概率的计算，关键在于会判别概率的各种类型，然后选择相应的公式进行计算；难点是古典概率的计算与全概率公式的运用.
§1.1 随机事件及其运算
一、随机现象
自然界中有两类现象：
一类是“条件完全确定结果”的现象，就是在一定的条件下，只有一个结果出现的现象，这类现象称为确定性现象. 例如，每天早晨太阳从东方升起；水在标准大气压下加热到1000C就沸腾；一个口袋中有十只相同的白球，从中任取一只必为白球.
另一类是“条件不能完全确定结果”现象，就是在一定的条件下，并不总是
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出现相同结果的现象，这类现象称为随机现象.
例1.1 随机现象的例子
(1) 抛一枚硬币，观察是正面朝上？还是反面朝上？ (2) 掷一颗骰子,观察出现的点数； (3) 一天内进入某商场的顾客数； (4) 某种型号电视机的寿命. 随机现象有两个特点： (1) 结果不止一个；
(2) 事先不知道哪一个会出现.
乍看起来，随机现象似乎没有什么规律性可言. 但是，实践告诉我们，随机现象的各种结果会表现出一定的规律性，这种规律性称为统计规律性.例如，若重复抛一枚硬币多次，则可以看到这样的事实：当重复次数n很大时，出现正面的次数nH和出现反面的次数nT很接近，比值nHn(或nTn)会逐渐稳定于0.5，这就是例1.1(1)所述随机现象的统计规律性. 概率论与数理统计就是研究随机现象的统计规律性的一门数学学科。由于随机现象的普遍性，使得概率论与数理统计具有极其广泛的应用性.
二、样本空间
我们把对随机现象所进行的实验与观察统称为试验，若一个试验具有下列三个特点：
(1) 可重复性：在相同的条件下可重复进行；
(2) 确定性：试验结果不止一个，试验的所有结果在试验之前可以确定的； (3) 随机性：每次试验只出现一个结果，但试验前无法预见哪个结果将会发生。
则称该试验为随机试验，简称试验，记为E.
随机试验的每一个不可再分的结果称为样本点或基本结果，用?记之. 试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，用?表示.
认识随机试验，首先要能够列出它的样本空间. 例1.2 列出例1.1中随机现象的样本空间： (1) 抛一枚硬币的样本空间：?1??H,T?；
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(2) 掷一颗骰子的样本空间：?2??1,2,3,4,5,6?； (3) 一天内进入某商场的顾客数的样本空间：?3??0,1,2,3,(4) 电视机寿命的样本空间：?4??t:t?0?.
通常把样本点的个数为有限个或无限可列个的情况归为一类，称为离散样本空间；而把样本点的个数为无限不可列个的情况归为另一类，称为连续样本空间. 三、随机事件
随机试验的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称为事件①，常用大写字母A,B,C,表示. 易见，任意事件都是样本空间的子集（或子事件）。
?；
事件又分为基本事件和复合事件，由单个样本点组成的事件称为基本事件，由基本事件复合而成的事件称为复合事件。
例1.3 掷一颗骰子的样本空间：?2??1,2,3,4,5,6?. 事件A?“出现点数不小于3”，即A??3,4,5,6?； 事件B?“出现点数小于3”，即B??1,2?； 事件C?“出现点数3”，即C??3?.
注 10 事件A发生?试验中出现的样本点??A；
20 事件可以用集合表示，也可以用明白无误的语言描述；
30 由样本空间?中的单个元素组成的子集称为基本事件(如例1.3中的事件
C)；每次试验都发生的事件称为必然事件，即事件?；每次试验都不发生的事件称为不可能事件，即事件?.?，?虽然属于确定性现象范畴，但为了需要，可将它们看成事件的两个极端情况。 四、随机变量
表示随机试验结果的变量称为随机变量，常用大写字母X,Y,Z,很多事件都可以用随机变量表示.
例1.4 掷一颗骰子,出现的点数是一个随机变量，记之为X，则在例1.3中，
表示.
A??X?3?；B??X?3?；C??X?3?.
例1.5 电视机的寿命T是一个随机变量，则事件“寿命超过40000h”可用
?T?40000?表示，而?T?10000?则表示事件“寿命不超过10000h”.
①
严格地说， 事件是指Ω中满足某些条件的子集. 当Ω是由有限个元素或由无限可列个元素构成时，每个子集都可作为一个事件. 若Ω是由无限不可列个元素构成时，某些子集必须排除在外. 幸而这种不可容许的子集在实际应用中几乎不会遇到. 今后，我们讲的事件都是指它是容许考虑的那种子集.
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在许多场合下，用随机变量表示事件较为简洁明了. 这样一来，事件有三种表示法：
1. 用集合表示； 2. 用语言表示； 3. 用随机变量表示.
在实际问题中，哪一种表示法方便就用哪一种. 五、事件的关系
1．包含关系
若属于A的样本点必属于B，则称A被包含在B中，或称B包含A，记为
A?B，或B?A. 用概率论的语言说：事件A发生必导致事件B发生.
如在例1.4中，C?A. 2．相等关系
若A?B且A?B，则称事件A与B相等，记为A=B. 3. 互不相容（或互斥）
若A与B没有相同的样本点，则称A与B互不相容. 用概率论的语言说：A与B互不相容就是事件A与B不可能同时发生.
如在例1.5中，“寿命超过40000h”与“寿命不超过10000h”就是两个互不相容事件.
基本事件之间是互不相容的，且它们的并为必然事件.?与任何事件之间都是互不相容的。 六、事件的运算
1. 事件A与B的并
“由事件A与B中所有的样本点组成的新事件”称为事件A与B的并，记为
A?B. 用概率论的语言说：“事件A与B中至少有一个发生”.
如在例1.3中，设A??3,4,5,6?，B??1,3,5?，则A2. 事件A与B的交
B??1,3,4,5,6?.
“由事件A与B中公共的样本点组成的新事件”称为事件A与B的交，记为
AB或简记AB. 用概率论的语言说：“事件A与B同时发生”.
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如在例1.3中，设A??3,4,5,6?，B??1,3,5?，则AB??3,5?. 显然，AB??就意味着A与B是互不相容事件.
事件的并与交运算可推广到有限个或可列个事件，譬如有事件A1,A2,， 则?Ai称为有限并，
i?1n??i?1Ai称为可列并；
?A称为有限交，
ii?1n??i?1Ai称为可列交.
A?B AB A?B
3. 事件A对B的差
“由事件A中而不在B中的样本点组成的新事件”称为事件A对B的差，记为A?B. 用概率论的语言说：“事件A发生而B不发生”.
如在例1.3中，设A??3,4,5,6?，B??1,3,5?，则A?B??4,6?. 若X为随机变量，则
?a?X?b???X?b???X?a?
4. 对立事件
“由在?中而不在A中的样本点组成的新事件”称为事件A的对立事件，记为A. 用概率论的语言说：“A不发生”，即A＝??A.
如在例1.3中，设A??2,4,6?，则A??1,3,5?. 事件的关系与运算也可用文氏图表示。
不难发现，事件的关系与运算和集合的关系与运算之间是完全可以互相类比的。表1.1给出了这种类比的对应关系.
表1.1 事件的关系与运算和集合的关系与运算之间的对应关系 记号 概率论 集合论 5