第一章 事件与概率

? 样本空间,必然事件 不可能事件 样本点 A发生必然导致B发生 A与B互不相容 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A发生而B不发生 A不发生 空间(全集) 空集 元素 A是B的子集 A与B无相同元素 A与B的并集 A与B的交集 A与B的差集 A的余集 ? ? A?B AB?? AB AB A?B A 在许多场合中,用集合论的表达方式显得简单些,也更容易理解些. 但对初学者来说,重要的是要学会用概率论的语言来解释事件的关系与运算,并能运用它们.

例1.6 设A,B,C是三个事件,则

(1) 事件“A与B发生,C不发生”:ABC; (2) 事件“A,B,C中至少有一个发生”:A(3) 事件“A,B,C中恰有一个发生”:ABC(4) 事件“A,B,C中至多有一个发生”:ABC(5) 事件“A,B,C同时发生”:ABC; (6) 事件“A,B,C都不发生”:ABC; (7) 事件“A,B,C不全发生”:A2、事件运算的性质

定理1.1 事件的运算满足下列性质: 交换律:AB?BA,AB?BA;

BC;

ABCABC;

ABCABCABC;

BC.

结合律:?AB?C?A分配律:?AB?C?AC对偶律(德莫根公式):A?BBC,C??ABC,?AB?C?A?BC??ABC;

A.

?AB?C??AC??BC?;

B?BB?BA;A德莫根公式是很有用的公式,它可以推广到任意有限个事件,即

nnnnAi?i?1i?1Ai;

i?1Ai?i?1Ai.

下面的关系式是显而易见的,也是有用的:

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??AB?A?ABB??;

AA??,AA??;

A?A,???,???

A???,A??A;

A??A,A?B?AA???;

B?B;

B?A,AA?B?A?AB?AB;

AB?A(B?A)?B(A?B);

A?AB习题1.1:7P10 七、 事件域

AB.

现在我们给出“事件域”的概念,是为了下一节定义事件的概率作准备. 所谓“事件域”从直观上讲就是一个由样本空间的某些子集组成的集合类,记为F. 问题是F中应该有那些元素?首先F中应该包含?和?;其次应该保证事件经过并、交、差、对立等运算后仍然是事件,即要求F对事件的运算具有封闭性. 由于

? 交的运算可通过并与对立来实现(德莫根公式); ? 差的运算可通过交与对立来实现(A?B?AB).

这样一来,F只要对并与对立运算封闭就能保证其对并、交、差、对立运算封闭,因此可给出事件域的定义如下:

定义1.1 设F是样本空间?中的某些子集构成的集合,若F满足: (1) ??F;

(2) 若A?F,则A?F; (3) 若Ai?F,i?1,2,?,则 则称F为事件域(?-代数).

在概率论中,又称??,F?为可测空间,这里“可测”是指F中都是有概率可言的事件.

例1. 7 常见的事件域

?A?F,

ii?1?7

(1) 若样本空间?为有限个或可列个样本点组成,则常取?的一切子集所组成的集合类作为F,易见F是事件域;

例如??{W1,W2}?F?{?,A,A,?},其中A?{W1}.

??{W1,01,Wn}?F中含有Cn?Cn?n?Cn?2n个事件.

(2) 若样本空间???(??,??),此时事件域F可由一个基本集合类

L??(??,x):???x????

逐步扩展生成(见P.9.教材). 习题1.1:11P1011

作业:习题1.1:1(1)(4)(5),2,3,6.

§1.2 概率的定义及其确定方法

一、概率的公理化定义

简单而直观的说:概率就是事件发生可能性大小的度量. 对此我们先看以下一些经验事实:

1. 事件的发生是带有偶然性的,但事件发生的可能性是有大小之分的. 例如,口袋中有10只相同的球,其中9只黑球,1只白球,从中任取1球,人们的共识是:取出黑球的可能性比取出白球的可能性大;

2. 事件发生的可能性大小是事件本身固有的东西,就像棍子有长度,土地有面积一样。而且事件发生的可能性大小是可以设法度量的. 例如,抛一枚硬币,出现正面与出现反面的可能性各位0.5;抽取一件产品可能为正品,也可能为次品,但产品质量的好坏可以用次品率来度量;购买彩票后可能中奖,也可能不中奖但中奖的可能性大小可以用中奖率来度量.

在概率论发展史上,曾有过概率的频率定义、古典定义和几何定义. 这些定义各适合一类随机现象,有各自的优缺点. 如何给出适合一切随机现象的概率的一般定义呢?1933年俄罗斯(苏联)数学家柯尔莫哥洛夫首次提出了概率的公理化定义,这个定义既概括上述几种概率定义中的共同特性,又避免了各自的局限性和含混之处,不管什么随机现象,只有满足定义中的三条公理,才能说它是

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概率. 有了这个公理化定义后,概率论得到了很快的发展.

定义1.2 设P是定义在事件域F上的集函数,若P满足:

(1) 非负性:P?A??0,?A?F;

(2) 正则性:P????1 ;

(3) 互斥事件的可列可加性:Ai?F,AiAj??,i?j,i,j?1,2,

????P???Ai????P?Ai?, ?i?1?i?1则称P为概率,而称P(A)为事件A的概率.

通常把在?-代数F上定义的非负、可列可加的集函数称作是F上的测度(如长度、面积、体积等),而概率只不过是事件域F上的一个规范化的测度。在概率论中,又称??,F,P?为概率空间.

概率的公理化定义只是规定了概率所满足的特征性质,并没有告诉人们如何确定概率. 历史上在公理化定义出现之前,概率的频率定义、古典定义和几何定义都在一定的场合下,有着各自确定概率的方法,因此,在有了概率的公理化定义之后,把它们看作确定概率的方法是恰当的. 二、确定概率的频率方法

确定概率的频率方法是一种最常用的方法,其基本思想是:

(1) 在n次重复试验中,事件A出现了n(A) 次,称

n(A) (2.1) fn(A)?n为事件A出现的频率.

(2) 人们的长期实践表明:随着试验重复次数n的增加,频率fn(A)会逐渐稳定在某一常数a附近,我们称这个常数为频率的稳定值. 这个频率的稳定值就是事件A的概率,即

P(A)?a,

这个概率称为统计概率,即定义概率为频率的稳定值。它满足概率的公理化定义.

(3) 频率方法的缺点是:在实际中,由于试验需要大量的人力物力,再加上有些试验具有破坏性,使得人们无法把一个试验无限次地重复下去,因此要精确获得频率的稳定值是很困难的. 但频率方法提供了求概率近似值的方法,为概率提供了一个可供想象的具体值,并且在试验重复次数n较大时,可用频率给出概率的一个近似值,这一点是频率方法最有价值的地方. 在统计学中就是这样做

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的,且称频率为概率的估计值,概率为频率的稳定值。

例2.1 说明频率稳定性的例子(见教材P: 14)(1) 抛硬币试验; (2) 英语字母的频率. 三、确定概率的古典方法

确定概率的古典方法是概率论历史上最先开始研究的情形. 它简单、直观,不需要做大量重复试验,而是在经验事实的基础上,通过逻辑分析得出被考察事件的概率.

若一试验满足以下两条件:

(1) 有限性:试验结果只有有限个:?1,?2,?,?n;

(2) 等可能性:每个试验结果出现的概率均相等:

1P??i?=; i?1,2,...,n。

n则称该试验为古典概型。

在古典概型中,若事件A含有k个样本点,则事件A的概率为

P?A?=

A中样本点的个数k?. (2.2) n样本点总数这个概率称为古典概率,它满足概率的公理化定义.

计算古典概率的关键是“数”样本空间中的样本点数和事件A中的样本点,这里的“数”不是简单的数,对于简单的试验可通过列举法得到样本点数,但对于复杂的试验,还需借助于排列组合的知识得到。

例2.2 (补充题)掷一枚硬币三次(或抛三枚硬币一次),求恰好出现一次正面的概率.

解 样本空间

??{(正正正),(反正正),(正反正),( 正正反),

(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)}.

用A表示“恰好出现一次正面”,则

A={(正反反),(反正反),(反反正)}.

3故所求概率P(A)?.

8注意 若将样本空间写成?1?{(三正),(二正一反),(二反一正),(三反)},此样本空间中的样本点不等可能.

在计算古典概率时,一般不用将样本点一一列出,但一定要保证样本点为等

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