可能，并能正确的计数. 因此常用到排列与组合公式.
排列与组合公式回顾（见P12?13教材）.
1、排列与组合都是计算“从n个元素中任取r个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素间的次序，则用组合；否则用排列。而所谓讲究因素间的次序，可以从实际问题中得以辨别。
2、两条原理
乘法原理：若完成一件事需n个步骤，而每一步骤又有ni(i?1,2,法，则完成这件事共有n1?n2?法，则完成这件事共有n1?n2?3、排列公式
,n)种方
?nn种方法。
,n)种方
加法原理：若完成一件事需n种方式，而每一方式又有ni(i?1,2,?nn种方法。
Pnr表示从n个不同元素中任取r(0?r?n)个元素排成一列的排法总数，且
Pnr?n?(n?1)?4、组合公式
??rCn或??表示从n个不同元素中任取r(0?r?n)个元素并成一组（不考虑
?r?元素间的先后顺序）的组合总数，且
rPn!rCn?n?r!r!(n?r)!
?(n?r?1)?n!
(n?r)!n5、重复排列
从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列总数共有n个。 （r允许大于n）
r6、重复组合
从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合称为有重复组合，此种重复组合总数为??n?r?1?（r?个。r??允许大于n）
注：有序用排列，无序用组合，重复与否看是否放回。
例2.3 某人把六根草握在手中，仅露出头和尾. 然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接. 求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
解 利用乘法原理直接计算，所求概率为
6?4?4?2?2?18P??.
6?5?4?3?2?11511
例2.4 (1) n个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率；
(2) n个人随机地坐成一排，求甲、乙两人相邻而坐的概率.
解 令A=“甲、乙两人相邻而坐”.
(1) 考虑甲先坐好，则乙有n?1个位置可坐，而“甲、乙相邻”只有两种情况，故所求概率为
P(A)?2； n?1 (2) 甲先坐，乙后坐，则共有种n(n?1)可能，即样本点总数为n(n?1). 甲坐两端，则乙与甲相邻共有2种可能；甲坐在中间n?2个位置上，则乙在其左右都可坐，故共有2(n?2)可能，因此所求概率为
P(A)?2?2(n?2)2?.
n(n?1)n例2.5 （不返回抽样）某批产品共有N件，其中有M为次品，N?M正品. 从中不返回地任取n件，求其中恰有m件次品的概率.
解 令Am表示“取出的n件中恰有m件次品”，则所求概率为
?M??N?M?????m??n?m??. P(Am)??N????n?其中n?N,m?M,n?m?N?M. 此模型又称为超几何模型.
例2.6 （有返回抽样）某批产品共有N件，其中有M为次品，N?M正 品. 从中有返回地任取n件，求其中恰有m件次品的概率.
解 令Am表示“取出的n件中恰有m件次品”，则所求概率为
?n?MP(Am)????m?m?N?M?Nnn?m?n??M??N?M?????????m??N??N?mn?m.
其中m?n，即m?0,1,2,,n.
例2.7 （盒子模型）将n个不同的球随机放到N(n?N)不同的盒子中 （设每个盒子中所放球数不限），求恰好有n个盒子中各有一球的概率.
解 令A表示“恰好有n个盒子中各有一球”，则所求概率为
nPNN!. P(A)?n?nNN(N?n)!四、确定概率的几何方法
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将古典概型中的有限性推广到无限不可列性，保留等可能性即得几何概型。 若一试验满足以下两条件：
(1) 试验的样本空间?是一个可度量的区域，其度量（长度、面积或体积等）记为S?；
(2) 样本点落在?中的任一等度量的子区域A的概率相等（等度量等概率），即概率只与A的度量SA有关而与A的位置无关。 则称该试验为几何概型。
在几何概型中，若事件A的度量为SA，则该事件A的概率为
P?A??SA. (2.3) S?这个概率称为几何概率，它满足概率的公理化定义.
求几何概率的关键是把样本空间?和所求事件A用图形描述清楚，然后计算出相关图形的度量.
下面举一个例子.
例2.8 （Buffon投针问题）平面上画有间隔为d(d?0)等距平行线，向平面任意投一枚长为l(l?d)的针，求针与任一平行线相交的概率.
分析：针与任一平行线是否相交由针的中点与最近一条平行线的距离及针与此直线间的夹角有关。
解 以x表示针的中点与最近一条平行线的距离，又以?表示针与此直线间的夹角. 则
?????,x?:0????,0?x?d2?，
?构成??x平面上的一个矩形，其面积为S??d?2.
记A=“针与平行线相交”，则
A????,x?:0????,0?x?lsin?2?.
由于针是任意投掷的，故本问题可用几何方法求解得
SP(A)?A?S???0lsin?d?2l2?.
d?2d?注 ?的随机模拟：重复投针N次，统计针与平行线相交的次数n，得频率：n /N；然后用频率代替概率得2l(d?)?nN，因d与l均可测得，故
??2lN. dn13
试验者 Wold Fox Lazzerini 表2.1 历史上一些学者的试验数据 年份 投掷次数 相交次数 ld 1850 0.8 5000 2532 1884 1901 0.75 0.83 1030 3408 489 1808 ?的近似值 3.1596 3.1595 3.1415 设计一个随机试验，使一个事件的概率与某一未知量有关，然后通过重 复试验，并以频率估计概率，即可确定未知量的近似解. 随着计算机的出现，人们可以利用计算机来大量重复地模拟所设计的随机试验，从而使得这种方法得到了迅速的发展和广泛的应用. 人们称这种方法为随机模拟法，也称为蒙特卡罗
?MonteCarlo?方法.
作业：习题1.2P28：3，6(2)(3)，11，19，20；24.
§1.3 概率的性质
一、概率的基本性质
利用概率的公理化定义，可以导出概率的一系列性质. 首先我们给出概率的一些基本性质.
定理3.1 设A，B，Ai(i?1,2,(1) P????0；
(2) 有限可加性：若AiAj??(1?i?j?n)，则
,n)均为事件，则
?n?nP???Ai????P?Ai?； ?i?1?i?1(3) 对立事件公式：P?A??1?P?A?；
(4) 减法公式：若A?B，则P?A?B??P?A??P?B?； (5) 加法公式：P?A?B??P?A??P?B??P?AB?， 推论3.1 设A，B，Ai(i?1,2,,n)均为事件，则
(1) 单调性：若A?B，则P?A??P?B?； (2) 一般减法公式：P?A?B??P?A??P?AB?； (3) 一般加法公式：
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n?n?n?n?1???????P?A?PA?PAA????1PA???iij??i????i??；
1?i?j?n?i?1?i?1?i?1??n?n(4) 半可加性：P?Ai???P?Ai?.
?i?1?i?1例3.1 设AB??，P(A)?0.6，P(AB)?0.8，求P(B).
例3.2 设P(A)?0.4，P(B)?0.3，P(AB)?0.6，求P(AB).
例3.3 设P(A)?P(B)?P(C)?14,P(AB)?0,P(AC)?P(BC)?116，则
A,B,C至少发生一个的概率是多少？A,B,C都不发生的概率是多少？
下面举几个利用对立事件公式解题实例.
例3.4 口袋中有n?1只黑球和1个白球，每次从中随机地摸出一球，并换入一只黑球. 问第k次摸到黑球的概率是多少？（习题9）
例3.5 一赌徒认为掷一颗骰子4次至少出现一次6点与掷两颗骰子24次至少出现一次双6点的机会是相等的，你认为如何？（习题7）
例3.6 从数字1,2,,9中可重复地任取n次，求取出的n个数的乘积能被
10整除的概率.（习题8）
提示：利用对立事件公式、德莫根公式和加法公式.
例3.7 P19例1.2.5（彩票问题）一种福利彩票称为幸福35选7，即从01, 02,?,35中不重复地开出7个基本号码和一个特殊号码. 中各等奖的规则如下. 试求中各等奖的概率.
表2.2 幸福35选7的中奖规则
中奖级别 一等奖 二等奖 三等奖 四等奖 五等奖 六等奖 七等奖 中奖规则 7个基本号码全中 中6个基本号码及特殊号码 中6个基本号码 中5个基本号码及特殊号码 中5个基本号码 中4个基本号码及特殊号码 中4个基本号码，中3个基本号码及特殊号码 ?35?解 ?中所含样本点总数为??. 将35个号码分成三类：7个基本号码，
?7?1个特殊号码，27个无用号码. 记pi为中第i等奖的概率，则由抽样模型得
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