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初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题 例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗
圃。
（1） 设矩形的一边长为x（米），面积为y（平方米），求y关于x
的函数关系式；
（2） 当x为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？ 分析：关键是用含x的代数式表示出矩形的长与宽。
解：（1）设矩形的长为x（米），则宽为（18- x）（米），
根据题意，得：y?x(18?x)??x?18x；
2又∵??x＞0,?0＜x＜18
18?x＞0?2（2）∵y?x(18?x)??x?18x中，a= -1＜0，∴y有最大值，
4ac?b20?182b18??81 ???9时，ymax?即当x??4a4?(?1)2a2?(?1)故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。 点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。
2、 只围三边的矩形的面积最值 例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠
墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式
参考材料
解：设养鸡场的长为x（米），面积为y（平方米），则宽为（
根据题意，得：y?x(50?x）（米）， 250?x1)??x2?25x； 22?x＞0?又∵?50?x,?0＜x＜50
＞0??2∵y?x(50?x11)??x2?25x中，a=?＜0，∴y有最大值， 222b即当x????2a2512?(?)2?25时，ymax4ac?b20?252625???
14a24?(?)2故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为
625平方米。 2点评：如果设养鸡场的宽为x，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。
3、 围成正方形的面积最值 例3、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形． (1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? (2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm，则另一段为（20-x）cm
由题意得： ()?(x4220?x2)?17 4解得： x1?16,x2?4
当x1?16时，20-x=4；当x2?4时，20-x=16 答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。 （2）不能
理由是：设第一个正方形的边长为xcm，则第二个正方形的边长为的面积为ycm2，
根据题意，得：y?x?(5?x)?2x?10x?25，
22220?4x?(5?x)cm，围成两个正方形4 试卷第2页，总21页
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∵y?x?(5?x)?2x?10x?25中，a= 2＞0，∴y有最小值，
2224ac?b24?2?25?10225b?105??即当x??=12.5＞12,故两个正???时，ymin?4a4?222a2?22方形面积的和不可能是12cm2.
练习1、如图，正方形EFGH的顶点在边长为a的正方形ABCD的边上，若AE=x，正方形EFGH的面积为y.
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)正方形EFGH有没有最大面积？若有，试确定E点位置；若没有，说明理由.
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
参考材料