高考数学大二轮专题复习 第三编 考前冲刺攻略 第三步 应试技能专训 二 中档题专练 理

二、中档题专练

(一)

1.[2016·长春监测]已知函数f(x)=2sinxcosx+23cosx-3. (1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递减区间;

2

?Aπ?(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=7,若锐角A满足f?-??26?

133

=3,且sinB+sinC=,求△ABC的面积.

14

π??2

解 (1)f(x)=2sinxcosx+23cosx-3=sin2x+3cos2x=2sin?2x+?,

3??2π

因此f(x)的最小正周期为T==π.

2

f(x)的单调递减区间为2kπ+≤2x+≤2kπ+

π7π??即x∈?kπ+,kπ+?(k∈Z). 1212??

π

2π33π

(k∈Z), 2

π??Aπ?π??Aπ?(2)由f?-?=2sin?2?-?+?=2sinA=3,又A为锐角,所以A=. 3?26???26?3?

a714

由正弦定理可得2R===,

sinA33

2

sinB+sinC=

b+c133

=, 2R14

2

2

2

2

2

13314b+c-ab+c-2bc-a1

则b+c=×=13,由余弦定理可知,cosA===,142bc2bc23可求得bc=40,

1

故S△ABC=bcsinA=103.

2

π

2.[2016·重庆测试] 如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,∠BAD=,3

AB=2,CD=3,M为PC上一点,PM=2MC.

1

(1)证明:BM∥平面PAD;

(2)若AD=2,PD=3,求二面角D-MB-C的正弦值. 解 (1)证明:如图,过点M作ME∥CD交PD于E,连接AE.

EMPM2

又PM=2MC,故==,因为CD=3,所以EM=2.

CDPC3

因为AB∥CD,故AB∥EM.

而AB=2,所以AB綊EM,故四边形ABME为平行四边形,从而BM∥AE,又AE?平面PAD,

BM?平面PAD,所以BM∥平面PAD.

(2)以D为坐标原点,DC,DP所在射线分别为y,z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

由已知AD=AB=2,∠BAD=

π3

ππ

,故△ABD为等边三角形,所以DB=2,∠ABD=.因为33

AB∥CD,故∠BDC=.记B点的坐标为(xB,yB,0),则xB=DB·sin∠BDC=3,yB=DB·cos

∠BDC=1,即B(3,1,0).

3).

2

由已知PD=DC=3,故D(0,0,0,),P(0,0,3),C(0,3,0),DP=(0,0,3),PC=(0,3,-

→→→→2

由PM=2MC,故PM=PC=(0,2,-2),DM=DP+PM=(0,2,1),即M(0,2,1).

3

所以DB=(3,1,0),MC=(0,1,-1),BC=(-3,2,0),设平面BDM的法向量为n1

=(x1,y1,z1),平面BCM的法向量为n2=(x2,y2,z2).

23),

3x1+y1=0, 故可取n1=(-1,3,-

由n1·DM=0,n1·DB=0,得{2y1+z1=0,

?y2-z2=0,

由n2·MC=0,n2·BC=0,得?

?-3x2+2y2=0,

→→

故可取n2=(2,3,3),

从而法向量n1,n2的夹角的余弦值为cos〈n1,n2〉=36

故所求二面角D-MB-C的正弦值为.

8

n1·n210

=-,

|n1|·|n2|8

3.[2016·贵阳监测]在某校科普知识竞赛前的模拟测试中,得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图.

(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛,你会选哪位?请运用统计学的知识说明理由;

(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个,记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望.

68+76+79+86+88+95解 (1)学生甲的平均成绩x甲==82,学生乙的平均成绩x6=

71+75+82+84+86+94

=82,

6

12222222

又s甲=×[(68-82)+(76-82)+(79-82)+(86-82)+(88-82)+(95-82)]=

677,

3

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