二、中档题专练
(一)
1.[2016·长春监测]已知函数f(x)＝2sinxcosx＋23cosx－3. (1)求函数y＝f(x)的最小正周期和单调递减区间；
2
?Aπ?(2)已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中a＝7，若锐角A满足f?－??26?
133
＝3，且sinB＋sinC＝，求△ABC的面积．
14
π??2
解 (1)f(x)＝2sinxcosx＋23cosx－3＝sin2x＋3cos2x＝2sin?2x＋?，
3??2π
因此f(x)的最小正周期为T＝＝π.
2
f(x)的单调递减区间为2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋
π7π??即x∈?kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 1212??
π
2π33π
(k∈Z)， 2
π??Aπ?π??Aπ?(2)由f?－?＝2sin?2?－?＋?＝2sinA＝3，又A为锐角，所以A＝. 3?26???26?3?
a714
由正弦定理可得2R＝＝＝，
sinA33
2
sinB＋sinC＝
b＋c133
＝， 2R14
2
2
2
2
2
13314b＋c－ab＋c－2bc－a1
则b＋c＝×＝13，由余弦定理可知，cosA＝＝＝，142bc2bc23可求得bc＝40，
1
故S△ABC＝bcsinA＝103.
2
π
2．[2016·重庆测试] 如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD＝，3
AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，PM＝2MC.
1
(1)证明：BM∥平面PAD；
(2)若AD＝2，PD＝3，求二面角D－MB－C的正弦值． 解 (1)证明：如图，过点M作ME∥CD交PD于E，连接AE.
EMPM2
又PM＝2MC，故＝＝，因为CD＝3，所以EM＝2.
CDPC3
因为AB∥CD，故AB∥EM.
而AB＝2，所以AB綊EM，故四边形ABME为平行四边形，从而BM∥AE，又AE?平面PAD，
BM?平面PAD，所以BM∥平面PAD.
(2)以D为坐标原点，DC，DP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
由已知AD＝AB＝2，∠BAD＝
π3
ππ
，故△ABD为等边三角形，所以DB＝2，∠ABD＝.因为33
AB∥CD，故∠BDC＝.记B点的坐标为(xB，yB,0)，则xB＝DB·sin∠BDC＝3，yB＝DB·cos
∠BDC＝1，即B(3，1,0)．
→
3)．
2
→
由已知PD＝DC＝3，故D(0,0,0，)，P(0,0,3)，C(0,3,0)，DP＝(0,0,3)，PC＝(0,3，－
→→→→2
由PM＝2MC，故PM＝PC＝(0,2，－2)，DM＝DP＋PM＝(0,2,1)，即M(0,2,1)．
3
→
→
→
所以DB＝(3，1,0)，MC＝(0,1，－1)，BC＝(－3，2,0)，设平面BDM的法向量为n1
＝(x1，y1，z1)，平面BCM的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
→
23)，
→
3x1＋y1＝0， 故可取n1＝(－1，3，－
由n1·DM＝0，n1·DB＝0，得{2y1＋z1＝0，
→
?y2－z2＝0，
由n2·MC＝0，n2·BC＝0，得?
?－3x2＋2y2＝0，
→→
故可取n2＝(2，3，3)，
从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cos〈n1，n2〉＝36
故所求二面角D－MB－C的正弦值为.
8
n1·n210
＝－，
|n1|·|n2|8
3．[2016·贵阳监测]在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图．
(1)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；
(2)若从甲的6次模拟测试成绩中随机选择2个，记选出的成绩中超过87分的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．
68＋76＋79＋86＋88＋95解 (1)学生甲的平均成绩x甲＝＝82，学生乙的平均成绩x6＝
71＋75＋82＋84＋86＋94
＝82，
6
12222222
又s甲＝×[(68－82)＋(76－82)＋(79－82)＋(86－82)＋(88－82)＋(95－82)]＝
677，
乙
3