限时规范检测(二十八) 平面向量的数量积与平面向量应用举例
(时间：45分钟 分值：61分)
一、选择题(共5个小题，每题5分)
1．(2012·陕西高考)设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1，2cos θ)垂直，则cos 2θ等于( ) A.2
2
1B. 2D．－1
C．0
2．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，当(λm＋n)⊥(2n＋m)时，实数λ的值为( ) 5A. 83C．－
8
3B．－ 163D. 8
3.(2012·龙岩一中热身训练)如图，O为△ABC的外心，AB＝4，AC＝2，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则AM·AO的值( )
A．23 C．6
B．12 D．5
4．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a|·|b|·sin θ，若a＝(－3，－1)，b＝(1，3)，则|a×b|等于( )
A.3 C．23
B．2 D．4
ππ?5.(2012·哈尔滨模拟)函数y＝tan??4x－2?的部分图象如图所示，则(OA＋OB)·AB＝( )
A．4 C．1
二、填空题(共3个小题，每题4分)
6．(2012·安徽高考)若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a·b的最小值是________． 7．(2012·钦州模拟)给出以下四个命题： ①对任意两个向量a，b都有|a·b|＝|a||b|；
②若a，b是两个不共线的向量，且AB＝λ1a＋b，AC＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A、B、C共线?λ1λ2＝－1；
③若向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，则a＋b与a－b的夹角为90°； ④若向量a、b满足|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝13，则a，b的夹角为60°. 以上命题中，假命题的序号是________．
B．6 D．2
8．(2012·北京高考)已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则DE·CB的值为________；DE·DC的最大值为________．
三、解答题(共2个小题，每题12分) 9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)． (1)设c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb与a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的投影．
1
3cos x，－?，函数f(x)＝(a＋b)·10．已知向量a＝(sin x，－1)，b＝?a－2. 2??(1)求函数f(x)的最小正周期T；
(2)已知a、b、c分别为△ABC内角A、B、C的对边，其中A为锐角，a＝23，c＝4，且f(A)＝1，求A，b和△ABC的面积S.
答 案
限时规范检测(二十八)
1．解析：选C 由向量互相垂直得到a·b＝－1＋2cos2θ＝cos 2θ＝0. 2. 解析：选C 由已知得|m|＝34，|n|＝5，m·n＝11. ∵(λm＋n)⊥(2n＋m)，
∴(λm＋n)·(2n＋m)＝λm2＋(2λ＋1)m·n＋2n2＝0， 3即34λ＋(2λ＋1)×11＋2×5＝0，解得λ＝－.
8
3. 解析：选D 延长AO交圆O于D，连接BD，CD，则∠ABD＝∠ACD＝90°，
1
所以AM·AO＝(AB＋AC)·AD
411
＝AB·AD＋AC·AD 44
11＝|AB|·|AD|cos∠BAD＋|AC|·|AD|cos∠CAD 4411
＝|AB|2＋|AC|2＝5. 44
4. 解析：选B ∵|a|＝|b|＝2，a·b＝－23， －233∴cos θ＝＝－. 22×21
又θ∈[0，π]，∴sin θ＝. 2
1
∴|a×b|＝2×2×＝2.
2
5. 解析：选B 由条件可得B(3,1)，A(2,0)．∴(OA＋OB)·AB＝(OA＋OB)·(OB－
OA)＝OB2－OA2＝10－4＝6.
6. 解析：由|2a－b|≤3可知，4a2＋b2－4a·b≤9，所以4a2＋b2≤9＋4a·b.而4a2＋b2＝|2a|2
9＋|b|2≥2|2a|·|b|≥－4a·b，所以a·b≥－，当且仅当2a＝－b时取等号．
8
9
答案：－
8
7. 解析：①错，∵|a·b|＝|a||b|·|cos θ|≤|a||b|. ②错，∵A、B、C共线，∴AB＝kAC，
??λ1＝k，∴?∴λ1λ2＝1. ??λ2k＝1.
③正确，∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)． ④错，∵|a＋b|2＝13，∴|a|2＋|b|2＋2a·b＝13， 1即a·b＝|a||b|·cos θ＝－6，∴cos θ＝－，∴θ＝120°.
2答案：①②④
8. 解析：法一：以AB，AD为基向量，设AE＝λ
＝λ
AB (0≤λ≤1)，则DE＝AE－AD2AB－AD，CB＝－AD，CB＝?λAB－AD) ·所以DE·?－AD)＝－λAB·AD＋AD＝－λ×0＋1＝1.又DC＝λ≤1，即DEDC＝?λAB－AD?·AB)＝λAB＝AB，所以DE·
2－
AD)·AB＝λ×1－0
·DC的最大值为1.
法二：建立如图所示的平面直角坐标系，令E点坐标为?t，0??0≤t≤1?可得DE·CB＝?t，－1?·?0，－1?＝1，
DE·DC＝?t，－1?·CB＝1，DE·DC最大值为1. ?1，0?＝t≤1，∴DE·
答案：1 1
9．解：(1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)， ∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)a＝0a＝0.