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第六章 偏微分方程式之求解
在化工的领域中，有不少程序之动态是由以偏微分方程式(Partial differential equation；PDE)所描述的，例如热与质量在空间中的传递等。这些用以描述实际问题的PDE，除非具有某些特定的方程式型态及条件，否则甚难以手算的方式找出解析解。而在数值求解方面，最常被采用的方法为有限差分法(finite
difference)何有限元素法(finite element)。然对于某些不熟悉数值分析及程序编写的化工人而言，欲充分了解以偏微分方程式所描述之系统动态是相当不容易的，更遑论进一步的设计与分析了。
值得庆幸的是，MATLAB的环境中提供了一个求解PDE问题的工具箱，让使用者得以利用简单的指令或图形接口工具输入欲解的PDE，并求解。使得PDE之数值解在弹指之间完成，使用者不在为数值法所苦恼，轻松掌握偏微分方程式系统的动态，并可进一步进行后续之设计工作。
本章将以循渐进的方式，介绍PDE工具箱及其用法，并以数个典型的化工范例进行 示范，期能使初学者很快熟悉PDE工具箱，并使用它来设计与分析以偏微方方程式所描述的程序系统。
6.1 偏微分方程式之分类
偏微分方程式可根据其阶数(order)，线性或非线性型态，以及边界条件进行分类。
6.1.1依阶数的分类
偏微分方程式是以偏微分项中之最高次偏微分来定义其阶数，例如：
一阶偏微分方程式：
?u?u??0
?x?y 二阶偏微分方程式：
?2u?2u??u??u ?2?????0 2?x?y?x?y?? 三阶偏微分方程式：
??3u??2u?u?u ???x3????x?y??x??y?0
??23
6.1.2 依非线性程度分类
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偏微分方程式亦可以其线性或非线性情况，区分为线性(linear)，似线性(quasilinear)，以及非线性三类。例如，以下之二阶偏微分方程式(Constantinides and Mostoufi,1999)
?2u?2u?2u a(?)2?b(?)?c(?)2?d(?)?0
?x?y?y?x
可依系数(?)之情况，进行如下表之归类
类别 情况
线性 系数(?)为定值，或仅为(x,y)函数
似线性 系数(?)为依变数(dependent variable)u或其比方程式中之偏微
分低阶之偏微分项的函数，如(?)?(x,y,u,?u?x,?u?y)
非线性 系数(?)中，具有与原方程式之偏微分同阶数之变数，如
(?)?(x,y,u,?2u?x2,?2u?y2,?2u?x?y)
另外，对于线性二阶偏微分方程式，可进一步将其分类为椭圆型(elliptic)，拋物线型(parabolic)，以及双曲线型(hyperbolic)。具体上来说，此类偏微分方程式二阶线性之一般式为
?2u?2u?2u?u?u a2?b?c2?d?e?fu?g?0
?x?y?x?y?x?y
系数a,b,c,d,e和f是定值或为u的函数。若g=0，则上式为其次是偏微分方程式。式子( )之分类及代表性例子，请见下表
方程式类别 判断式 代表性范例
?2u?2u椭圆型 b?4ac?0 Laplace方程式，2?2?0
?x?y2?2u?2u拋物线型 b?4ac?0 Poisson方程式，2?2?f(x,y)
?x?y2~?u)?a~u?~f ???(c?2u?u 热传导或扩散方程式?2?
?t?x~?u~?u)?a~u?~???(cf d?t学习必备 欢迎下载
?2u?2u?2 双曲线型 b?4ac?0 波动方程式?2?x?t22~?2u~?u)?a~u?~f d2???(c?t
??j 注：二维系统之运操作数?之定义为??i??x?y
6.1.3 起始条件和边界条件的分类
为了能获得偏微分方程式之解答，其起始条件和边界条件可依其特性区分为三类。现以一维之动态热传递方程式(拋物线型偏微分方程式)
?T?2T??2 ?t?x 为例，进一步说明如何区分这些边界条件及起始条件(Constantinides and
Mostoufi ,1999)。
(i) 第一类：Dirichlet Condiction
若依变量(T)本身，在某个独立变量值时，被指定，则此条件称为Dirichlet
Condiction，亦称为essential边界条件。下图为一典型的Dirichlet条件示意图
T?f(t),t?0T?T1,t?0T0
图6.1 平板Dirichlet Condiction示意图
由图中很清楚的显示，该平板之边界条件为 T?f(t),atx?0,t?0 T?T1, T?T0,atx?0,t?0 atx?0,t?0
01x 此边界条件依定义，即为Dirichlet Condiction。同时，若再起始时，各处
之温度分布可以位置之函数表示，即
att?0,0?x?1 T?f(t), 此亦属Dirichlet型之边界条件。
(ii) 第二类：Neumann condition
Neumann condition系指依变量之变化率之边界条件为定值，抑或独